图的算法

真正的勇士，敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——鲁迅

　　

　　这篇博文总结一下图的有关算法。转载请注明出处http://www.cnblogs.com/tianji，谢谢！

　　图的表示

　　要表示一个图G=（V，E），有两种标准的表示方法，邻接矩阵和邻接表。这两种方法都可用于有向图和无向图。对于稀疏图，常用邻接表表示，因为这样表示图更为紧凑（图中|E|要远小于|V|*|V|）；当遇到稠密图或者必须很快判别两个给定顶点是否存在连接边时，一般采用邻接矩阵表示。

　　图G=（V，E）的邻接表表示由一个包含|V|个列表的数组Adj所组成，其中每个列表对应于V中的一个顶点，对于V中的每一个顶点u,Adj[u]包含所有和它相邻的顶点（或者指向这些顶点的指针）。如下两图分别问(b)为(a)无向图和有向图邻接表表示。

  

 

 

 

　　

 　 在图G=（V，E）的邻接矩阵表示中，假定各顶点按某种任意的方式编号为1,2,3,...,|V|,那么G的一个邻接矩阵为一个|V|*|V|的矩阵A=aij，它满足：

　　

       

　　如上两图所示，(c)为(a)无向图、有向图的邻接矩阵表示。

  

    

　　

　　 广度优先搜索

　　在给定图G=(V,E)和一个特定的源顶点s的情况下，广度优先搜索系统的搜索G中的边以期发现可从s到达的所有顶点，并计算s的可达顶点之间的距离（即最少的边数）。该搜索算法同时还能生成一棵根为s，且包含所有s的可达顶点的广度优先树。对从s可达的任意顶点v，广度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的一条最短路，即包含最少边数的路径，该算法对有向图和无向图都适用。

　　　　总结一下：算法中将使用三个数组color,π,d分别，还用到队列Q，算法伪代码如下:

　　

                           

　　复杂度分析：

　　

     

 

　　对此算法另外的一点分析：该算法得到一棵广度优先树,且求出了从 s到任意其他顶点的最短路径（无权），路径可通过π数组迭代求出，最短路径长度（最短的边数）即为d数组保存的值。

　　给出求最短路径的递归伪代码：

                         

 

 

　　C语言代码如下：这里采用visited数组表示已访问，并没有伪代码中的其他数组，可以自己增加（参考严蔚敏C语言版《数据结构》）

　　全部代码如下：

#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
#define MAX_NAME 5 /* 顶点字符串的最大长度 */
typedef int InfoType;
typedef char VertexType[MAX_NAME]; /* 字符串类型 */
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{DG,DN,AG,AN}GraphKind; /* {有向图,有向网,无向图,无向网} */
typedef struct ArcNode
{
  int adjvex; /* 该弧所指向的顶点的位置 */
  struct ArcNode *nextarc; /* 指向下一条弧的指针 */
  InfoType *info; /* 网的权值指针） */
}ArcNode; /* 表结点 */
typedef struct
{
  VertexType data; /* 顶点信息 */
  ArcNode *firstarc; /* 第一个表结点的地址,指向第一条依附该顶点的弧的指针 */
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /* 头结点 */
typedef struct
{
  AdjList vertices;
  int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */
  int kind; /* 图的种类标志 */
}ALGraph;
int LocateVex(ALGraph G,VertexType u)
{ /* 初始条件: 图G存在,u和G中顶点有相同特征 */
  /* 操作结果: 若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */
  int i;
  for(i=0;i<G.vexnum;++i)
    if(strcmp(u,G.vertices[i].data)==0)
      return i;
  return -1;
}
Status CreateGraph(ALGraph *G)
{ /* 采用邻接表存储结构,构造没有相关信息的图G(用一个函数构造4种图) */
  int i,j,k;
  int w; /* 权值 */
  VertexType va,vb;
  ArcNode *p;
  printf("请输入图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3): ");
  scanf("%d",&(*G).kind);
  printf("请输入图的顶点数,边数: ");
  scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum);
  printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n",(*G).vexnum,MAX_NAME);
  for(i=0;i<(*G).vexnum;++i) /* 构造顶点向量 */
  {
    scanf("%s",(*G).vertices[i].data);
    (*G).vertices[i].firstarc=NULL;
  }
  if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
    printf("请顺序输入每条弧(边)的权值、弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
  else /* 图 */
    printf("请顺序输入每条弧(边)的弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
  for(k=0;k<(*G).arcnum;++k) /* 构造表结点链表 */
  {
    if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
      scanf("%d%s%s",&w,va,vb);
    else /* 图 */
      scanf("%s%s",va,vb);
    i=LocateVex(*G,va); /* 弧尾 */
    j=LocateVex(*G,vb); /* 弧头 */
    p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
    p->adjvex=j;
    if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
    {
      p->info=(int *)malloc(sizeof(int));
      *(p->info)=w;
    }
    else
      p->info=NULL; /* 图 */
    p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */
    (*G).vertices[i].firstarc=p;
    if((*G).kind>=2) /* 无向图或网,产生第二个表结点 */
    {
      p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
      p->adjvex=i;
      if((*G).kind==3) /* 无向网 */
      {
        p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
        *(p->info)=w;
      }
      else
        p->info=NULL; /* 无向图 */
      p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */
      (*G).vertices[j].firstarc=p;
    }
  }
  return OK;
}
VertexType* GetVex(ALGraph G,int v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点的序号。操作结果: 返回v的值 */
  if(v>=G.vexnum||v<0)
    exit(ERROR);
  return &G.vertices[v].data;
}
int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
  /* 操作结果: 返回v的第一个邻接顶点的序号。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回-1 */
  ArcNode *p;
  int v1;
  v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
  p=G.vertices[v1].firstarc;
  if(p)
    return p->adjvex;
  else
    return -1;
}
int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点 */
  /* 操作结果: 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号。 */
  /*           若w是v的最后一个邻接点,则返回-1 */
  ArcNode *p;
  int v1,w1;
  v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
  w1=LocateVex(G,w); /* w1为顶点w在图G中的序号 */
  p=G.vertices[v1].firstarc;
  while(p&&p->adjvex!=w1) /* 指针p不空且所指表结点不是w */
    p=p->nextarc;
  if(!p||!p->nextarc) /* 没找到w或w是最后一个邻接点 */
    return -1;
  else /* p->adjvex==w */
    return p->nextarc->adjvex; /* 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号 */
}
Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; /* 访问标志数组(全局量) */
void(*VisitFunc)(char* v); /* 函数变量(全局量) */
typedef int QElemType; /* 队列类型 */
typedef struct QNode
{
  QElemType data;
  struct QNode *next;
}QNode,*QueuePtr;

typedef struct
{
  QueuePtr front,rear; /* 队头、队尾指针 */
}LinkQueue;
Status InitQueue(LinkQueue *Q)
{ /* 构造一个空队列Q */
  (*Q).front=(*Q).rear=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));
  if(!(*Q).front)
    exit(OVERFLOW);
  (*Q).front->next=NULL;
  return OK;
}
Status QueueEmpty(LinkQueue Q)
{ /* 若Q为空队列,则返回TRUE,否则返回FALSE */
  if(Q.front==Q.rear)
    return TRUE;
  else
    return FALSE;
}
Status EnQueue(LinkQueue *Q,QElemType e)
{ /* 插入元素e为Q的新的队尾元素 */
  QueuePtr p=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));
  if(!p) /* 存储分配失败 */
    exit(OVERFLOW);
  p->data=e;
  p->next=NULL;
  (*Q).rear->next=p;
  (*Q).rear=p;
  return OK;
}
Status DeQueue(LinkQueue *Q,QElemType *e)
{ /* 若队列不空,删除Q的队头元素,用e返回其值,并返回OK,否则返回ERROR */
  QueuePtr p;
  if((*Q).front==(*Q).rear)
    return ERROR;
  p=(*Q).front->next;
  *e=p->data;
  (*Q).front->next=p->next;
  if((*Q).rear==p)
    (*Q).rear=(*Q).front;
  free(p);
  return OK;
}
void BFSTraverse(ALGraph G,void(*Visit)(char*))
{/*按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组visited。算法7.6 */
  int v,u,w;
  VertexType u1,w1;
  LinkQueue Q;
  for(v=0;v<G.vexnum;++v)
    visited[v]=FALSE; /* 置初值 */
  InitQueue(&Q); /* 置空的辅助队列Q */
  for(v=0;v<G.vexnum;v++) /* 如果是连通图,只v=0就遍历全图 */
    if(!visited[v]) /* v尚未访问 */
    {
      visited[v]=TRUE;
      Visit(G.vertices[v].data);
      EnQueue(&Q,v); /* v入队列 */
      while(!QueueEmpty(Q)) /* 队列不空 */
      {
        DeQueue(&Q,&u); /* 队头元素出队并置为u */
        strcpy(u1,*GetVex(G,u));
        for(w=FirstAdjVex(G,u1);w>=0;w=NextAdjVex(G,u1,strcpy(w1,*GetVex(G,w))))
          if(!visited[w]) /* w为u的尚未访问的邻接顶点 */
          {
            visited[w]=TRUE;
            Visit(G.vertices[w].data);
            EnQueue(&Q,w); /* w入队 */
          }
      }
    }
  printf("\n");
}
void main()
{
  ALGraph f;
  printf("请选择有向图\n");
  CreateGraph(&f);
  Display(f);
  BFSTraverse(f);
}

　　主要代码如下：

void BFSTraverse(ALGraph G,void(*Visit)(char*))
{/*按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组visited。算法7.6 */
  int v,u,w;
  VertexType u1,w1;
  LinkQueue Q;
  for(v=0;v<G.vexnum;++v)
    visited[v]=FALSE; /* 置初值 */
  InitQueue(&Q); /* 置空的辅助队列Q */
  for(v=0;v<G.vexnum;v++) /* 如果是连通图,只v=0就遍历全图 */
    if(!visited[v]) /* v尚未访问 */
    {
      visited[v]=TRUE;
      Visit(G.vertices[v].data);
      EnQueue(&Q,v); /* v入队列 */
      while(!QueueEmpty(Q)) /* 队列不空 */
      {
        DeQueue(&Q,&u); /* 队头元素出队并置为u */
        strcpy(u1,*GetVex(G,u));
        for(w=FirstAdjVex(G,u1);w>=0;w=NextAdjVex(G,u1,strcpy(w1,*GetVex(G,w))))
          if(!visited[w]) /* w为u的尚未访问的邻接顶点 */
          {
            visited[w]=TRUE;
            Visit(G.vertices[w].data);
            EnQueue(&Q,w); /* w入队 */
          }
      }
    }
  printf("\n");
}

 　　

　　

　　深度优先搜索