线性代数_矩阵基础
1. 矩阵的意义与消元法
1.1 二维矩阵 : 直线相交解的表示方法
求两个直线相交的点
2x - y = 0
-x +2y = 3
等同
2 -1 x 0
-1 2 y = 3 A X = b
转换为向量的思考方式, x是向量2 -1的参数 y是向量 -1 2的参数, 两个向量的和是向量 0 3
直线交点->向量和
x 2 y -1 = 0
-1 2 3
1.2 三维矩阵 : 面相交的解释方法 消元法
x+2y+1y=10
3x+8y+z=2
4y+z=6
一个三元方程的解是一个平面, 所以三个三元方程的解就是三个面相交的点
1 2 1 x = 1
3 8 1 y 2
0 4 1 z 6
矩阵表示为向量用的是列解释
消元法
简化方程 因为要同时满足各个方程 所以用一个方程简化另一个方程
用第一行消除二三行 用二行消除第三行 然后导入b得出最终解
1 2 1 x = x 1 + y 2 + z 1 = x+2y+z1 = 1
0 2 -2 y 0 2 -2 2y-2z 2
0 0 5 z 0 0 5 5z 2
矩阵三行的比例变化
a b c 1 2 1 = a(1 2 1) +b(3 8 1) +c(0 4 1)= a+3b 2a+8b+4c a+b+c
3 8 1
0 4 1
矩阵乘以列得出列 行乘以矩阵等于行
矩阵的消元简化变化矩阵
1 0 0 1 2 1 = 1 2 1
-3 1 0 3 8 1 0 2 -2
0 0 1 0 4 1 0 4 1
E21 用第一行简化第二行
1 . . .
-3 1 0 1 = . . -2 (-3x1+1x1+0x1)
1 . . .
-2:行和列相交的位置
E32 用第二行简化第三行
E32(E21 A)=U
A经过两次简化 变成U矩阵
矩阵的结合律:
E32(E21 A)= (E32 E21) A
置换矩阵
0 1 a b = c d
1 0 c d a b