HDU_1281 棋盘游戏 (二分图的最大匹配)

棋盘游戏

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Problem Description

小希和Gardon在玩一个游戏：对一个N*M的棋盘，在格子里放尽量多的一些国际象棋里面的“车”，并且使得他们不能互相攻击，这当然很简单，但是Gardon限制了只有某些格子才可以放，小希还是很轻松的解决了这个问题（见下图）注意不能放车的地方不影响车的互相攻击。
所以现在Gardon想让小希来解决一个更难的问题，在保证尽量多的“车”的前提下，棋盘里有些格子是可以避开的，也就是说，不在这些格子上放车，也可以保证尽量多的“车”被放下。但是某些格子若不放子，就无法保证放尽量多的“车”，这样的格子被称做重要点。Gardon想让小希算出有多少个这样的重要点，你能解决这个问题么？

 Input

输入包含多组数据，
第一行有三个数N、M、K(1<N,M<=100 1<K<=N*M)，表示了棋盘的高、宽，以及可以放“车”的格子数目。接下来的K行描述了所有格子的信息：每行两个数X和Y，表示了这个格子在棋盘中的位置。

Output

对输入的每组数据，按照如下格式输出：

Board T have C important blanks for L chessmen.

Sample Input

3 3 4 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 2 1 3 2

Sample Output

Board 1 have 0 important blanks for 2 chessmen. Board 2 have 3 important blanks for 3 chessmen.

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解题思路：
      刚开始也不知道可以用二分图来做，想了半天不知道怎么写，参考网上大牛的代码。我从来没有写过二分图的程序，这个可以算是个开始吧，现学现卖！
讲解前，我假定大家对二部图的定义以及一些基本定理有一定的了解，不用知道的太多，只要知道什么是二部图就行。首先，将一个坐标为(x,y)的单元格看成是x和y的匹配，那么二分图的两个集合X={1,...,N},Y={1,...,M},即X是横坐标的集合，Y是纵坐标的集合。
      题中要求若(x,y)放一个棋子，则x行和y列都不允许再放棋子，在这种条件下放最多的棋子；可以将问题转化为X和Y的一个最大匹配。(这个地方不明白的童鞋要仔细想)
下面讲解如何求解一个二部图map[N][M]的最大匹配。使用易于理解和编程的匈牙利算法。对于X集合中的每一个x(即map中的每一行进行遍历），依次遍历每一个y，如果y还没有匹配，则用一个一位数组记录match[y]=x;表示y和x已经匹配，如果y已经匹配(即match[y]=k)，那么递归这个过程，判断k是否可以和Y中的其他节点匹配，如果可以，则修改match[y]=x;如果不行，那么就跳过这个y，查找Y集合中的其他节点。
算法的大致思想就是这样，不知我讲的是否清楚，下面是针对杭电的这一道题运用匈牙利算法求解的程序。

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 1010
bool map[MAX][MAX]={false};
int match[MAX]={0};
bool visit[MAX]={0};
bool dfs(int n,int M)
{
    int i=0,j=0;
    for(j=1;j<=M;j++)
    {
        if(visit[j] || !map[n][j]) continue;
        visit[j]=true;
        if(!match[j] || dfs(match[j],M))
        {
            match[j]=n;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int solve(int N,int M)
{
    int i=0,j=0,cnt=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        if(dfs(i,M)) cnt++;
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    int N,M,K,i=0,j=0,x,y,max=0,cnt=0,num=1;
    while(cin>>N>>M>>K)
    {
        cnt=max=0;
        memset(map,false,sizeof(map));
        for(i=0;i<K;i++)
        {
            cin>>x>>y;
            map[x][y]=1;
        }
        max=solve(N,M);
        for(i=1;i<=N;i++)
        {
            for(j=1;j<=M;j++)
            {
                if(map[i][j])
                {
                    map[i][j]=0;
                    if(max>solve(N,M)) cnt++;
                    map[i][j]=1;
                }
            }
        }
        cout<<"Board "<<(num++)<<" have "<<cnt<<" important blanks for "<<max<<" chessmen."<<endl;
    }

    return 1;
}