线代学习笔记：二次型

定义

n元的二次型是n个变量的齐二次多项式函数 $$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2+2\sum _{i\ne j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

其中含$x_i^2$的项称为交叉项用矩阵乘积的形式写出是一个对称矩阵，满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=X^{T}AX$,其中$X=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T$

标准二次型

矩阵是对角矩阵的二次型
化为二次型的方法有两种：

1. 正交交换法
2. 配方法

实对称矩阵的合同

存在$C$可逆，使得$B=C^{T}AC$，则称$A$和$B$合同，从几何上看，两个矩阵合同就是可以将基向量通过可逆线性变量替换转换成别的基，一般都会转换为标准二次型以方便我们计算，也就是在这个坐标下二次型的图像关于所有基向量对称，从初等数学的角度上看就是它关于所有坐标轴对称。

正定性

定义：

1. 二次型正定即当$x_1,x_2,...,x_n$不全为0时，一定有$f(x_1,x_2,...,x_n)>0$
2. 实对称矩阵A正定即当n维列向量$\eta \ne 0$时，${\eta }^{T}A\eta >0$

判断：

1. A和单位矩阵合同，即$A=C^{T}C$,$C$可逆
2. A的正惯性指数=n
3. A的特征值都大于0
4. A的顺序主子式都大于0