Field Play：Runge-Kutta
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引子
在 Filed Play：简介中提到了这个方法，查资料了解了一下。
相关概念
极限
有时不能直接计算某个值，但可以看看逐渐接近时的情况，看下面的例子：
当 x = 1 时，发现结果是 0/0 ，这个在数学上是未定式，是不确定的。那看看接近的情况：
| x | f(x) |
|---|---|
| 0.5 | 1.5 |
| 0.9 | 1.9 |
| 0.99 | 1.99 |
| 0.9999 | 1.9999 |
| 0.999999 | 1.999999 |
发现当 x 接近 1 的时候，f(x) 越来越接近 2 ，这种情况就是极限。
我们可以说当 x 趋近 1 时，f(x) 的极限是 2 ，用符号表示就是：
更加正式的定义见这里。
导数
设函数 f(x) 在 x0 有定义，如果以下极限存在：
则称 f(x) 在 x0 处可导，上述极限值为 f(x) 在 x0 处的导数，记作 f'(x0) 。
导数描述的是函数的变化率，在几何中可以通过导数计算出某一点切线的斜率。
求导法则见这里。
微分
设函数 y=f(x) 在 x0 处连续，若存在实数 A ，使得:
其中 △x -> 0 ，则称 f(x) 在 x0 处可微，线性部分 A△x 为 f(x) 在 x0 处的微分，记作 dy 。
微分的几何意义是线性替代，线性替代的思想可以推广至高阶替代。
更加详细的介绍见这里。
微分方程
微分方程指的是含有函数及其导数的方程。微分方程中有的有无穷多解，有的无解，有的则仅有有限个解。
微分方程的阶数取决于方程中出现的最高次导数阶数。
- 常微分方程：仅含有一个独立变量的微分方程。
- 偏微分方程：函数包含两个或两个以上的独立变量。
- 特解：满足微分方程的某一个解。
- 通解：满足微分方程的一组解。
- 初值问题：满足初值条件的常微分方程的解。
- 单步法：计算下一个点的值 yn+1 只需要用到前面一个点的值 yn 。
- 多步法：计算下一个点的值 yn+1 需要用到前面 m 个点的值 ym 。
Runge-Kutta
龙格－库塔法是一种求解常微分方程数值解的单步算法。其中有一个在工程上应用很广泛，称为 RK4 。
对于一阶微分方程初值问题：
其中，t0 为初始时间（已知常数），y0为初始状态（已知向量），f(t,y) 是关于时间 t 和状态 y 的函数（已知函数）。
RK4 求解算法为：
其中：
h 为时间步长。
