动态规划4.2——子序列问题
题目上添加了超链接，大家点一下题目就会自动跳转到Poj原题界面~~ 冲鸭冲鸭ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ。
前言：
视频讲解链接：https://www.bilibili.com/video/BV1i44y1x7wT?spm_id_from=333.999.0.0
建议大家按随笔顺序阅览，序列型动态规划是常见动态规划类型当中的重点， 占常见动态规划类型里的20%，这里给出的几道题都很经典，大家可以都当作板子抄下来。
动态规划组成部分：
1：确定状态
—确定最后一步（最优策略）
—抽象子问题
2：归纳转移方程
3：初始条件和边界情况
4：计算顺序
4.2.1 Longest Ordered Subsequence (2533)
题意：在一个给定的数值序列中，找到一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能地大，子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。
小笔记：最长递增子序列
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ans = 1;
int D[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int a[N];
scanf("%d", &a[i]);
D[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++)
if (a[j] < a[i]) // * 就这儿！
D[i] = max(D[i], D[j] + 1);
ans = max(ans, D[i]);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
以上代码求的是最长递增子序列长度，其他情况修改代码中*的位置：
①最长不降子序列长度，改成a[j] ≤ a[i]；
②最长递减子序列长度，改成a[j] > a[i]；
③最长不升子序列长度，改成a[j] ≥ a[i]；
4.2.2 Wooden Sticks (1065)
题意：有n个木棍，已知长度和重量，将木棍放在机器上加工。机器的设置时间
①第一个木棍需要1分钟；
②处理的木棍长度为l，重量为w，如果下一个木棍长度l’≤l并且w’≤w，不需要设置时间，否则需要1分钟。
计算处理n个木棍的最少设置时间。
小笔记：最长不上升子序列、偏序、这题也可以贪心解
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5001;
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
pair<int, int> a[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
sort(a, a + n);
//通过二分查找方法实现最长递减子序列的值
int k = 0;
int d[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int p = -1;
int r = k;
while (r - p > 1)
{
int mid = (p + r) / 2;
if (d[mid] > a[i].second)
p = mid;
else
r = mid;
}
d[r] = a[i].second; //将已经搜索到的子序列保存到d中
if (r == k)
k++;
}
printf("%d\n", k);
}
return 0;
}
4.2.3 Alignment (1836)
题意：n个士兵站成一行，队列中任何士兵的某一侧（左侧或者右侧）没有身高大于或者等于他的士兵，他就可以看到队列这一侧的最外面的位置。为了使队列中的每一个士兵都可以看到他某一侧的最外面位置，问最少出列多少士兵可以使剩下的士兵满足这个条件。
小笔记：最长递增子序列
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
int main()
{
double a[N];
int n;
scanf("%d", &n);
int L[N], R[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%lf", &a[i]);
L[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++)
if (a[j] < a[i])
L[i] = max(L[i], L[j] + 1);
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
R[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j--)
if (a[j] < a[i])
R[i] = max(R[i], R[j] + 1);
}
int ans = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
ans = max(ans, L[i] + R[j]);
printf("%d\n", n - ans);
return 0;
}
4.2.4 Maximum sum (2479)
题意：n个整数构成的数列a[1…n]，求d(A)。
小笔记：最大连续子序列和
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50005;
const int MIN = -10000;
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
int L[N], R[N];
L[0] = R[n + 1] = MIN;
int a[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
L[i + 1] = max(a[i], L[i] + a[i]);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
L[i] = max(L[i - 1], L[i]);
for (int i = n; i > 0; i--)
R[i] = max(a[i - 1], R[i + 1] + a[i - 1]);
for (int i = n; i > 0; i--)
R[i] = max(R[i + 1], R[i]);
int ans = MIN;
for (int i = 1; i < n; i++)
ans = max(ans, L[i] + R[i + 1]);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
4.2.5To the Max (1050)
题意：一个二维矩阵包含正数和负数，任何连续的矩阵空间构成它的子矩阵，矩阵中所有元素的和称为矩阵的和，求最大的子矩阵和。
小笔记：进阶，最大子矩阵和。按照合适的顺序将求子矩阵的和的计算转化成求子序列的和，在求的过程中记录最大值。
题解： ①从左到右计算每一行，将Σa[i,1…j]保存到a[i,j]中，这样，任意一段Σa[i,k…j]就可以通过a[i,j]-a[i,k]得到；
②先取1列，计算由1列组成的最大子矩阵和，因为只有1列，相当于求最大的连续子序列和。这里与上一个问题求最大连续子序列和不同，本题的连续子序列必须包含i点，而上题不需要。
③扩展到多列的情况，因为k…j列可以由a[i,j]-a[i,k]得出，依旧是1个值，计算方法和②一样；
④最后扩展到所有列，就找到了最大子矩阵和。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int ans = -128;
int a[101][101] = {0};
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
int t;
scanf("%d", &t);
a[i][j] = a[i][j - 1] + t;
}
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int k = 0; k < j; k++)
for (int i = 1, sum = 0; i <= n; i++)
{
sum = a[i][j] - a[i][k] + max(0, sum);
ans = max(ans, sum);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
