3.1:线性空间的定义,例子
目前为止,我们已经得到了以下结论:
由 \(n\) 个方程组成的 \(n\) 元线性方程组有唯一解的 充分必要条件
为:方程组系数矩阵的行列式不等于 \(0\) 。即
但事实上,仅有这样的结论是远远不够的。比如:
-
当 \(\left| \begin{matrix}a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|=0\) 时,线性方程组的解将对应两种不同的情形:无解? 或者 有无穷解? 但究竟是哪一种情形是无法判定的;
-
上述结论仅仅适用于方程组的方程个数 \(s\) 与未知量个数 \(n\) 相同的情形,而当 \(s \ne n\) 时,又该如何处理呢?
我们回到一开始提出的问题:
如何从 \(n\) 元线性方程组的系数矩阵出发,判定方程组:
(1)是否有解?(2)若有解,有多少解?
目前,这个大问题尚未完全解决,因此需要继续努力!
“宜将剩勇追穷寇,不可沽名学霸王”
下面,分析两个思路:
-
在 \(n\) 元线性方程组中,设方程的个数为 \(s\),未知数的个数为\(n\),当 \(s \ne n\) 时,显然无法使用上述结论,但受其启发,我们可以考虑研究系数矩阵的 \(k\) 阶子式,以期找到求解方法。后续将见到,该思路是可行的,但作用不大。
-
线性空间。这也是本章的重点内容。后续将见到,线性空间不仅可以解决线性方程组的问题,而且还有更重大的应用!
先观察一个 \(n\) 元线性方程:
其中,\(n\) 个未知量 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\) 分别对应 \(n\) 个系数 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\),并且这种对应是有序的。据此,可以抽象出 \(n\) 元有序数组的概念。
\(n\) 元有序数组:\((a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),a_{i} \in K,\forall ~ 1 \le i \le n\).
考虑由数域 \(K\) 上的所有 \(n\) 元有序数组组成的集合:
基于集合的互异性,我们有必要对 \(K^{n}\) 规定“元素相等”。
相等:
例 1:平面直角坐标系中,每个向量的坐标都是一个二元有序数组。
因此,可以借用几何的语言,称 \(K^{n}\) 中的一个 \(n\) 元有序数组为一个 \(n\) 维向量。
例 2:在平面直角坐标系中,每个向量的坐标都是一个二元有序数组,且每个有序数组(坐标)都唯一的对应者一个向量。平面中的向量有两个运算:向量加法与向量数乘。
例 3:求解线性方程组时,增广矩阵的初等行变换:
-
互换两行的位置;
-
以一个非零数乘以某一行;
-
将某一行的倍数加至另一行上。
以上两个例子中可以说都涉及到了“加法” 和 “数量乘法” 两种运算。很自然地,我们会想到在 \(K^{n}\) 上规定两种运算。
很自然地,作为类比,我们会尝试在 \(K^{n}\) 上规定 加法与 数量乘法。
下面,将这一想法付诸实践:设 \((a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) \in K^{n}\),\(k\in K\).
在 \(K^{n}\) 上规定加法运算:
在 \(K^{n}\) 上规定数量乘法运算:
附注:分析可知,上述定义的 \(n\) 元有序组的运算最终可归结为分量的运算,由于每个分量 \(a_{i} \in K (i=1,2,\cdots,n)\),因此可归结为数域 \(K\) 上的加法与乘法,所以,上述定义是良好的(well-defined,或者说,定义是合理的)。
作完上述定义后,自然要考虑:
两种运算具有怎样的运算性质或运算法则?
为了方便叙述,我们先对符号作一定的说明和简化。
(1)\(\forall ~ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \in K^{n}\) 记作:\(\forall ~ \boldsymbol{\alpha} \in K^{n}\);
(2)\(\forall ~ (b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) \in K^{n}\) 记作:\(\forall ~ \boldsymbol{\beta} \in K^{n}\);
(3)\(\forall ~ (c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}) \in K^{n}\) 记作:\(\forall ~ \boldsymbol{\gamma} \in K^{n}\);
(4)\(\forall ~ k,l \in K\).
不难验证,\(K^{n}\) 上的运算具有以下性质:
(1)加法交换律:\(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}\);
(2)加法结合律:\((\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})\);
(3)存在零元:\(\exists ~ \boldsymbol{0} \in K^{n},\quad s.t.\quad \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\);
(4)存在负元:\(\forall ~ \boldsymbol{\alpha} \in K^{n},\exists (-\boldsymbol{\alpha}) \in K^{n},\quad s.t.\quad \boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}\);
(5)\(1\cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\);
(6)\((k \cdot l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot (l \cdot \boldsymbol{\alpha})\);
(7)\(k \cdot (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + k \cdot \boldsymbol{\beta}\);
(8)\((k + l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + l \cdot \boldsymbol{\alpha}\).
附注:由 \((4)\) 可以定义减法运算:
至此,我们对 \(K^{n}\) 规定了加法与数量乘法,并且验证了两种运算的 \(8\) 条运算法则。现在,做一个总结。
定义 1. \(n\) 维向量空间:由数域 \(K\) 上的所有 \(n\) 元有序组构成的集合 \(K^{n}\),连同定义在上面的加法和数量乘法运算以及满足的 \(8\) 条运算法则一起称为数域 \(K\) 上的一个 n 维向量空间。
事实上,类似于 \(K^{n}\) 的例子有很多。例如:
(1)直线上,所有以原点 \(O\) 为起点的向量构成的集合;
(2)平面上,所有以原点 \(O\) 为起点的向量构成的集合;
(3)……
这些集合都有共同的特征:
(1)都可以在其上定义加法和数量乘法两种运算;
(2)所定义的两种运算都满足前面所讨论的 \(8\) 条运算法则。
之后,我们将抓住这两个主要特征,抽象并建立数学模型:线性空间
。
我们需要严格地定义两种运算,但在此之前,我们有必要了解一下,什么是运算?
现代数学中有两个最基本的概念:集合、映射。之后,我们将借助于集合与映射,给出“运算”的概念。
关于集合,大家都很熟悉了(实际上,了解集合的一些基本概念即可),这里不在进行叙述。我们重点关注一下映射。
那么,什么是映射?
定义 2. 映射:设 \(A\)、\(B\) 为两个集合,若存在某个对应法则 \(f\),使得 \(A\) 中的任一元素 \(a\),都有 \(B\) 中唯一的一个元素 \(b\) 与之对应,则称 \(f\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的一个 映射。
其中,
\(1^o\) \(f\) 为 对应法则;
\(2^o\) \(A\) 称为 定义域(domain);
\(3^o\) \(B\) 称为 陪域(codmian);
\(4^o\) \(b\) 称为 \(a\) 在 \(f\) 在的 像,\(a\) 称为 \(b\) 在 \(f\) 在的一个 原像;
\(5^o\) 满射:若 \(f(A) = B\),则称 \(f\) 为一个 满射;
\(6^o\) 单射:若 \(A\) 中不同的元素,在 \(f\) 下的像也不同,则称 \(f\) 为一个 单射;
\(7^o\) 双射:若 \(f\) 既是单射又是满射,则称 \(f\) 为一个 双射,或 一一映射。
有了映射的概念,就可以在集合上定义运算了。
例 4:整数集合中,
(1)\(+:2 + 3 = 5\),\((2,3) \longmapsto 5\);
(2)\(\times : 2\times 3 = 6\),\((2,3) \longmapsto 6\).
定义 3. 笛卡尔积:设 \(S\) 为一个非空集合,由 \(S\) 中的有序元素对组成的集合
称为 \(S\) 与自身的 笛卡尔积,记作 \(S \times S\).
一般地,设 \(S\) 和 \(M\) 为两个非空集合,由 \(S\) 与 \(M\) 中的元素组成的有序元素对构成的集合
称为 \(S\) 与 \(M\) 的 笛卡尔积,记作 \(S \times M\).
例 5:整数集 \(\mathbb{Z}\) 上的加法运算是 \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) 到 \(\mathbb{Z}\) 的一个映射。
定义 4. 运算:设 \(S\) 是一个非空集合,\(S \times S\) 到 \(S\) 的一个映射称为 \(S\) 上的一个 二元代数运算,简称 \(S\) 上的一个 运算。
有了“运算”的概念,下面来构建数学模型——线性空间。
定义 5. 线性空间:设 \(V\) 是一个非空集合,\(K\) 是一个数域,若 \(V\) 上有一个运算(\(V\times V\) 到 \(V\) 的一个映射)称为加法,即 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) \mapsto \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\),\(K\) 与 \(V\) 有一个运算(\(K \times V\) 到 \(V\) 的一个映射)称为数量乘法,即 \((k,\boldsymbol{\alpha}) \mapsto k \cdot \boldsymbol{\alpha}\),并且满足下述 \(8\) 条运算法则:
\(1^o\) 加法交换律:\(\boldsymbol{\alpha} +\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}\),\(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V\);
\(2^o\) 加法结合律:\((\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta})+ \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})\),\(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in V\);
\(3^o\) 存在零元 \(\boldsymbol{0}\):\(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha}\),\(\boldsymbol{\alpha} \in V\);
\(4^o\) \(\forall \boldsymbol{\alpha} \in K^{n}\) 存在负元 \(- \boldsymbol{\alpha}\):\(\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha} )+ \boldsymbol{\alpha}\),\(\boldsymbol{\alpha} \in V\);
\(5^o\) 存在单位元 \(\boldsymbol{1}\):\(\boldsymbol{1}\cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\),\(\boldsymbol{\alpha} \in V\);
\(6^o\) \((k \cdot l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot (l \cdot \boldsymbol{\alpha}) = l \cdot (k \cdot \boldsymbol{\alpha})\),\(k,l \in K,\boldsymbol{\alpha} \in V\);
\(7^o\) \((k+l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + l \cdot \boldsymbol{\alpha}\),\(k,l \in K,\boldsymbol{\alpha} \in V\);
\(8^o\) \(k \cdot (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + k \cdot \boldsymbol{\beta}\),\(k \in V,\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V\),
则称 \(V\) 为数域 \(K\) 上的一个线性空间,简称 线性空间。
此外,借用几何的语言,可将线性空间 \(V\) 中的元素视为向量,因此线性空间又可称为 向量空间。
思考: 空集可以是线性空间吗?
例 6:数域 \(K\) 上的 \(n\) 维向量空间 \(K^{n}\) 是数域 \(K\) 上的一个线性空间。
例 7:几何空间是实数域 \(\mathbb{R}\) 上的一个线性空间。
例 8:非空集合 \(X\) 到实数集 \(\mathbb{R}\) 上的一个映射称为 函数。
附注:关于 例 8
,有以下说明:这里实际上是对微积分中的函数的一种推广,\(X\) 不限于实数集 \(\mathbb{R}\),例如,若 \(X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\),则为二元函数。
可在 \(\mathbb{R}^{X}\) 上定义加法:
可在 \(\mathbb{R}^{X}\) 上定义数量乘法:
另外,定义 \(\mathbb{R}^{X}\) 中的零元为零函数:
容易证明 \(\mathbb{R}^{X}\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 上的一个线性空间。
线性空间的实例是有很多的,但研究线性空间的性质,不能只研究某一个线性空间的实例,而是应当从定义出发,按照数学的思维方式,以认证式、公理化的方法,从定义、公理和已经证明的定理出发,一步一步地进行逻辑推理。
我们已经有了线性空间的概念,下面从它满足的 \(8\) 条运算法则出发,研究其性质。
设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的一个线性空间,则:
性质 1:\(V\) 中的零元 \(\boldsymbol{0}\) 是唯一的。
性质 2:\(V\) 中任意元素 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是唯一的。
性质 3:\(0 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0},\forall \boldsymbol{\alpha} \in V\).
性质 4:\(k \cdot \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0},\forall k \in K,\forall \boldsymbol{\alpha} \in V\).
性质 5:若 \(k \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}\),则或者 \(k=0\),或者 \(\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}\).
性质 6:\((-1)\cdot \boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{\alpha}\).
至此,我们直接从线性空间的定义涵盖的 \(8\) 条运算法则入手,分析出了 \(6\) 条性质。
本文来自博客园,作者:thunder1015,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/thunder1015/p/16578049.html