高等代数课程（邱维声）：线性空间的定义，例子

3.1：线性空间的定义，例子

目前为止，我们已经得到了以下结论：

由 $n$ 个方程组成的 $n$ 元线性方程组有唯一解的 充分必要条件 为：方程组系数矩阵的行列式不等于 $0$ 。即

$$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n\\ \end{array} \right. \text{有唯一解} \Longleftrightarrow \left| \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{matrix} \right|\ne 0$$

但事实上，仅有这样的结论是远远不够的。比如：

• 当 $\left| \begin{matrix}a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|=0$ 时，线性方程组的解将对应两种不同的情形：无解？ 或者 有无穷解？ 但究竟是哪一种情形是无法判定的；

• 上述结论仅仅适用于方程组的方程个数 $s$ 与未知量个数 $n$ 相同的情形，而当 $s \ne n$ 时，又该如何处理呢？

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我们回到一开始提出的问题：

如何从 $n$ 元线性方程组的系数矩阵出发，判定方程组：
（1）是否有解？（2）若有解，有多少解？

目前，这个大问题尚未完全解决，因此需要继续努力！

“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”

下面，分析两个思路：

• 在 $n$ 元线性方程组中，设方程的个数为 $s$，未知数的个数为$n$，当 $s \ne n$ 时，显然无法使用上述结论，但受其启发，我们可以考虑研究系数矩阵的 $k$ 阶子式，以期找到求解方法。后续将见到，该思路是可行的，但作用不大。

• 线性空间。这也是本章的重点内容。后续将见到，线性空间不仅可以解决线性方程组的问题，而且还有更重大的应用！

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先观察一个 $n$ 元线性方程：

$$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} +\cdots a_{n}x_{n} = b,\quad a_{i} , b \in K (i=1,,2\cdots,n)$$

其中，$n$ 个未知量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 分别对应 $n$ 个系数 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，并且这种对应是有序的。据此，可以抽象出 $n$ 元有序数组的概念。

$n$ 元有序数组：$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),a_{i} \in K,\forall ~ 1 \le i \le n$.

考虑由数域 $K$ 上的所有 $n$ 元有序数组组成的集合：

$$K^{n}:=\{(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \mid a_{i} \in K,\forall ~ 1 \le i \le n\}.$$

基于集合的互异性，我们有必要对 $K^{n}$ 规定“元素相等”。

相等：

$$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) = (b_{1},b_{2},\cdots,a_{n}):\overset{def}{\Longleftrightarrow} a_{i} = b_{i},i=1,2,\cdots,n.$$

例 1：平面直角坐标系中，每个向量的坐标都是一个二元有序数组。

因此，可以借用几何的语言，称 $K^{n}$ 中的一个 $n$ 元有序数组为一个 $n$ 维向量。

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例 2：在平面直角坐标系中，每个向量的坐标都是一个二元有序数组，且每个有序数组（坐标）都唯一的对应者一个向量。平面中的向量有两个运算：向量加法与向量数乘。

例 3：求解线性方程组时，增广矩阵的初等行变换：

• 互换两行的位置；

• 以一个非零数乘以某一行；

• 将某一行的倍数加至另一行上。

以上两个例子中可以说都涉及到了“加法” 和 “数量乘法” 两种运算。很自然地，我们会想到在 $K^{n}$ 上规定两种运算。

很自然地，作为类比，我们会尝试在 $K^{n}$ 上规定 加法与 数量乘法。

下面，将这一想法付诸实践：设 $(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) \in K^{n}$，$k\in K$.

在 $K^{n}$ 上规定加法运算：

$$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) + (b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) :\overset{\text{def}}{=\!=\!=} (a_{1} + b_{1},a_{2} + b_{2},\cdots,a_{n} + b_{n}).$$

在 $K^{n}$ 上规定数量乘法运算：

$$k \cdot (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) :\overset{\text{def}}{=\!=\!=} (k\cdot a_{1},k \cdot a_{2},\cdots,k \cdot a_{n}).$$

附注：分析可知，上述定义的 $n$ 元有序组的运算最终可归结为分量的运算，由于每个分量 $a_{i} \in K (i=1,2,\cdots,n)$，因此可归结为数域 $K$ 上的加法与乘法，所以，上述定义是良好的（well-defined，或者说，定义是合理的）。

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作完上述定义后，自然要考虑：

两种运算具有怎样的运算性质或运算法则？

为了方便叙述，我们先对符号作一定的说明和简化。

（1）$\forall ~ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \in K^{n}$ 记作：$\forall ~ \boldsymbol{\alpha} \in K^{n}$；

（2）$\forall ~ (b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) \in K^{n}$ 记作：$\forall ~ \boldsymbol{\beta} \in K^{n}$；

（3）$\forall ~ (c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}) \in K^{n}$ 记作：$\forall ~ \boldsymbol{\gamma} \in K^{n}$；

（4）$\forall ~ k,l \in K$.

不难验证，$K^{n}$ 上的运算具有以下性质：

（1）加法交换律：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}$;

（2）加法结合律：$(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})$;

（3）存在零元：$\exists ~ \boldsymbol{0} \in K^{n},\quad s.t.\quad \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$;

（4）存在负元：$\forall ~ \boldsymbol{\alpha} \in K^{n},\exists (-\boldsymbol{\alpha}) \in K^{n},\quad s.t.\quad \boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$;

（5）$1\cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$;

（6）$(k \cdot l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot (l \cdot \boldsymbol{\alpha})$;

（7）$k \cdot (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + k \cdot \boldsymbol{\beta}$;

（8）$(k + l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + l \cdot \boldsymbol{\alpha}$.

附注：由 $(4)$ 可以定义减法运算：

$$\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\beta}:\overset{\text{def}}{=\!=\!=} \boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\beta})$$

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至此，我们对 $K^{n}$ 规定了加法与数量乘法，并且验证了两种运算的 $8$ 条运算法则。现在，做一个总结。

定义 1. $n$ 维向量空间：由数域 $K$ 上的所有 $n$ 元有序组构成的集合 $K^{n}$，连同定义在上面的加法和数量乘法运算以及满足的 $8$ 条运算法则一起称为数域 $K$ 上的一个 n 维向量空间。

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事实上，类似于 $K^{n}$ 的例子有很多。例如：

（1）直线上，所有以原点 $O$ 为起点的向量构成的集合；

（2）平面上，所有以原点 $O$ 为起点的向量构成的集合；

（3）……

这些集合都有共同的特征：

（1）都可以在其上定义加法和数量乘法两种运算；

（2）所定义的两种运算都满足前面所讨论的 $8$ 条运算法则。

之后，我们将抓住这两个主要特征，抽象并建立数学模型：线性空间。

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我们需要严格地定义两种运算，但在此之前，我们有必要了解一下，什么是运算？

现代数学中有两个最基本的概念：集合、映射。之后，我们将借助于集合与映射，给出“运算”的概念。

关于集合，大家都很熟悉了（实际上，了解集合的一些基本概念即可），这里不在进行叙述。我们重点关注一下映射。

那么，什么是映射？

定义 2. 映射：设 $A$、$B$ 为两个集合，若存在某个对应法则 $f$，使得 $A$ 中的任一元素 $a$，都有 $B$ 中唯一的一个元素 $b$ 与之对应，则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的一个 映射。

$$\begin{aligned} f: A &\longrightarrow B \\ \forall a &\longmapsto !b = f(a) \end{aligned}$$

其中，

$1^o$ $f$ 为 对应法则；

$2^o$ $A$ 称为 定义域（domain）；

$3^o$ $B$ 称为 陪域（codmian）；

$4^o$ $b$ 称为 $a$ 在 $f$ 在的 像，$a$ 称为 $b$ 在 $f$ 在的一个 原像；

$5^o$ 满射：若 $f(A) = B$，则称 $f$ 为一个 满射；

$6^o$ 单射：若 $A$ 中不同的元素，在 $f$ 下的像也不同，则称 $f$ 为一个 单射；

$7^o$ 双射：若 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为一个 双射，或 一一映射。

有了映射的概念，就可以在集合上定义运算了。

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例 4：整数集合中，

（1）$+:2 + 3 = 5$，$(2,3) \longmapsto 5$；

（2）$\times : 2\times 3 = 6$，$(2,3) \longmapsto 6$.

定义 3. 笛卡尔积：设 $S$ 为一个非空集合，由 $S$ 中的有序元素对组成的集合

$$\{(a,b) \mid a,b \in S \}$$

称为 $S$ 与自身的 笛卡尔积，记作 $S \times S$.

一般地，设 $S$ 和 $M$ 为两个非空集合，由 $S$ 与 $M$ 中的元素组成的有序元素对构成的集合

$$\{(a,b) \mid a\in S,b \in M\}$$

称为 $S$ 与 $M$ 的 笛卡尔积，记作 $S \times M$.

例 5：整数集 $\mathbb{Z}$ 上的加法运算是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的一个映射。

$$+:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}$$

定义 4. 运算：设 $S$ 是一个非空集合，$S \times S$ 到 $S$ 的一个映射称为 $S$ 上的一个 二元代数运算，简称 $S$ 上的一个 运算。

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有了“运算”的概念，下面来构建数学模型——线性空间。

定义 5. 线性空间：设 $V$ 是一个非空集合，$K$ 是一个数域，若 $V$ 上有一个运算（$V\times V$ 到 $V$ 的一个映射）称为加法，即 $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) \mapsto \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$，$K$ 与 $V$ 有一个运算（$K \times V$ 到 $V$ 的一个映射）称为数量乘法，即 $(k,\boldsymbol{\alpha}) \mapsto k \cdot \boldsymbol{\alpha}$，并且满足下述 $8$ 条运算法则：

$1^o$ 加法交换律：$\boldsymbol{\alpha} +\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V$；

$2^o$ 加法结合律：$(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta})+ \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})$，$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in V$；

$3^o$ 存在零元 $\boldsymbol{0}$：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\alpha} \in V$；

$4^o$ $\forall \boldsymbol{\alpha} \in K^{n}$ 存在负元 $- \boldsymbol{\alpha}$：$\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha} )+ \boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\alpha} \in V$；

$5^o$ 存在单位元 $\boldsymbol{1}$：$\boldsymbol{1}\cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\alpha} \in V$；

$6^o$ $(k \cdot l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot (l \cdot \boldsymbol{\alpha}) = l \cdot (k \cdot \boldsymbol{\alpha})$，$k,l \in K,\boldsymbol{\alpha} \in V$；

$7^o$ $(k+l) \cdot \boldsymbol{\alpha} = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + l \cdot \boldsymbol{\alpha}$，$k,l \in K,\boldsymbol{\alpha} \in V$；

$8^o$ $k \cdot (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k \cdot \boldsymbol{\alpha} + k \cdot \boldsymbol{\beta}$，$k \in V,\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V$,

则称 $V$ 为数域 $K$ 上的一个线性空间，简称 线性空间。

此外，借用几何的语言，可将线性空间 $V$ 中的元素视为向量，因此线性空间又可称为 向量空间。

思考： 空集可以是线性空间吗？

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例 6：数域 $K$ 上的 $n$ 维向量空间 $K^{n}$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间。

$$K^{n}:=\{(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) \mid a_{i} \in K,\forall ~ 1 \le i \le n\}.$$

例 7：几何空间是实数域 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间。

$$\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z) \mid x,y,z\in \mathbb{R}\}.$$

例 8：非空集合 $X$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 上的一个映射称为 函数。

附注：关于 例 8，有以下说明：这里实际上是对微积分中的函数的一种推广，$X$ 不限于实数集 $\mathbb{R}$，例如，若 $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$，则为二元函数。

$$\mathbb{R}^{X}: = \{非空集合 X 上的映射\}$$

可在 $\mathbb{R}^{X}$ 上定义加法：

$$(f + g)(x) :\overset{\text{def}}{=\!=\!=} f(x) + g(x),\quad \forall f,g \in \mathbb{R}^{X},\forall x \in X.$$

可在 $\mathbb{R}^{X}$ 上定义数量乘法：

$$(k \cdot f)(x) :\overset{\text{def}}{=\!=\!=} k \cdot f(x) ,\quad \forall f \in \mathbb{R}^{X},\forall k \in \mathbb{R},\forall x \in X.$$

另外，定义 $\mathbb{R}^{X}$ 中的零元为零函数：

$$0(x) = 0,\quad 0 \in \mathbb{R}^{X},\forall x \in X.$$

容易证明 $\mathbb{R}^{X}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间。

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线性空间的实例是有很多的，但研究线性空间的性质，不能只研究某一个线性空间的实例，而是应当从定义出发，按照数学的思维方式，以认证式、公理化的方法，从定义、公理和已经证明的定理出发，一步一步地进行逻辑推理。

我们已经有了线性空间的概念，下面从它满足的 $8$ 条运算法则出发，研究其性质。

设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间，则：

性质 1：$V$ 中的零元 $\boldsymbol{0}$ 是唯一的。

性质 2：$V$ 中任意元素 $\boldsymbol{\alpha}$ 是唯一的。

性质 3：$0 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0},\forall \boldsymbol{\alpha} \in V$.

性质 4：$k \cdot \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0},\forall k \in K,\forall \boldsymbol{\alpha} \in V$.

性质 5：若 $k \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$，则或者 $k=0$，或者 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$.

性质 6：$(-1)\cdot \boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{\alpha}$.

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至此，我们直接从线性空间的定义涵盖的 $8$ 条运算法则入手，分析出了 $6$ 条性质。