数系的扩充
公理化地定义自然数
定义自然数的方法很多,其中根据 佩亚诺公理
可以给出定义自然数的一种标准方法。当然这并不是定义自然数的唯一方法。比如:
- 通过讨论集合的势
公理化的定义方法,自古有之。
欧几里得在给出点、线、面等基础概念后,结合几个公理,形成了一套严密的几何理论。
基于这种公理化的定义方法,可以 公理化
地给出自然数的定义。
先给出几个基础概念:
- \(0\);
- 增长运算 \(++\)。
示例:\(0,0++,(0++)++,((0++)++)++,\cdots\)。
当然,为了简化描述,可以定义:
\(1:=0++\);
\(2:=(0++)++=1++\);
\(\cdots\)
注:这时的 \(0,1,2,\cdots\) 与我们所认知的自然数先区分开,这里可以先理解为一种简化符号,分别表示 \(0\),\(0\) 的增长 \(0++\),\(0\) 的增长的增长 \((0++)++\),\(\cdots\) 在没有给出公理之前,它们均不是自然数。
佩亚诺提出了五个公理用于定义自然数。
公理 1:\(0\) 是一个自然数。
公理 2:若 \(n\) 是一个自然数,\(n\) 的增长 \(n++\) 也是一个自然数。
公理 3:\(0\) 不是任何自然数的增长。
公理 4:不同的自然数,有不同的增长。
公理 5(数学归纳原理):设 \(P(n)\) 表示自然数 \(n\) 的任意一个性质,若 \(P(0)\) 为真,且 \(P(n)\) 为真时一定有 \(P(n++)\) 也为真,,那么对于任意的自然数 \(n\),\(P(n)\) 一定为真。
下面逐步体会每个公理的巧妙之处。
公理 1:\(0\) 是自然数。这是定义的最基本的概念,也是最初的逻辑出发点。
公理 2:若 \(n\) 是一个自然数,则 \(n\) 的增长 \(n++\) 也是自然数。
由公理 1、公理 2可知:
\(0\) 是自然数,\(0\) 的增长 \(0++\) 也是自然数,\((0++)++\) 也是自然数,\((((0++)++)\cdots)++\) 也是自然数。
现在,为了书写方便,可以先简化这些符号:
\(1:=0++\);
\(2:=(0++)++=1++\);
\(\cdots\)
\(n:=(((0++)++)\cdots)++\);
\(\cdots\)
由公理 1、公理 2:
- \(0\) 是自然数,\(1\) 是自然数 \(0\) 的增长,因此 \(1\) 是自然数;
- \(1\) 是自然数,\(2\) 是自然数 \(1\) 的增长,因此 \(2\) 是自然数;
- \(2\) 是自然数,\(3\) 是自然数 \(2\) 的增长,因此 \(3\) 是自然数;
- ……
因此,我们有 \(0,1,2,\cdots,n,\cdots\) 均为自然数。
但是,不要被经验认知骗到!这时的“自然数”是我们所熟悉的自然数吗?
思考这种情况:某一个”自然数“ \(n=0\)。
比如:
-
\(0,1,2,3,0,1,2,3,0,\cdots\):这种情形会出现“循环节”,显然与我们所认知的自然数不同!
在现实中也有相符的情形:计算机中的字节在内存溢出后会归零。
-
\(0,0,0,\cdots\):这种情形会出现循环点,自然数 \(0\) 的增长 \(0++\) 也是 \(0\),即 \(0++=0\),显然也在公理 1、2下,也是允许成立的。
为了避免这种特殊情况,并向我们所认知的自然数靠拢,需要公理 3。
公理 3:\(0\) 不是任何自然数的增长。这样一来,就可以排除上面的特殊情形。\(0\) 是自然数,根据公理 3,\(0\) 不是任何自然数的增长,因此 \(0 \ne 0++\),而 \(1:=0++\),因此 \(0 \ne 1\),不等号是相互的,即 \(1 \ne 0\)。
更多地,由 公理 1、公理 2、公理 3 :
-
\(0\) 是自然数,\(1\) 是自然数 \(0\) 的增长,因此\(1\) 是自然数,\(1 \ne 0\);
-
\(1\) 是自然数,\(2\) 是自然数 \(1\) 的增长,因此 \(2\) 是自然数,\(2 \ne 0\);
-
\(3\) 是自然数,\(3\) 是自然数 \(2\) 的增长,因此 \(3\) 是自然数,\(3 \ne 0\);
-
……
因此,我们有 \(0,1,2,3,\cdots\) 均是自然数,且 \(1,2,3,\cdots\) 均不等于 \(0\)。
这样一来,好像与我们所认知的自然数靠接了些,但仍有不相符的特殊情形:
- \(0,1,2,3,4,2,3,4,2,3,4,\cdots\):不同于之前的 \(0\) 作为循环点,这种情形下,从某一项开始出现了”循环节“。
- 另外,也有循环点的情形 \(0,1,2,3,3,3,\cdots\),以及更多类似的情形。
现在看来,在 公理 1、公理 2、公理 3 下,仍有各种病态情形出现,为了消除上述病态情形,需要公理 4。
公理 4:不同的自然数有不同的增长。由公理 1、2 、3 知,自然数 \(1 \ne 0\),即 \(0\) 和 \(1\) 是两个不同的自然数。紧接着,由公理 4 ,\(0\) 的增长不同于 \(1\) 的增长,即 \(1 \ne 2\)。\(1\) 和 \(2\) 是不同的自然数,因此有 \(2 \ne 3,3 \ne 4,\cdots\)
更多地,由公理 1、公理 2、公理 3、公理 4:
- \(0\) 是自然数,\(1\) 是自然数 \(0\) 的增长,\(1\) 是自然数,\(1 \ne 0\);
- \(1\) 是自然数,\(2\) 是自然数 \(1\) 的增长,\(2\) 是自然数,\(2 \ne 0\),\(1 \ne 2\);
- \(2\) 是自然数,\(3\) 是自然数 \(2\) 的增长,\(3\) 是自然数,\(3 \ne 0\),\(3 \ne 2\),\(3 \ne 1\);
- ……
因此,我们有 \(0,1,2,3,\cdots\) 均是自然数,且彼此之间,互不相等!
现在看来,这样所定义的“自然数”已经与我们所认知的自然数好像一致了,但是不要被表象迷惑了,注意,目前为止,我们只能证明 \(0,1,2,3,\cdots\) 是自然数,但不能证明自然数仅由这些组成!(谁知道真实的自然数里会不会有什么杂七杂八的东西)。
因此,我们还需要一个公理,用以证明,真实的自然数就是前面已经定义出的 \(0,1,2,3,\cdots\),再没有什么其它形式的自然数了。即,真实的自然数是可以通过对自然数 \(0\) 进行增量运算得到的。
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