数列极限:数列极限的概念
要学习数列极限,首先要搞清楚,什么是数列?
数列基础
我们所熟知的数列有:
- 三角形数
- 正方形数
- 斐波那契数列
- ……
在中学阶段,我们已经学习过数列的基础知识。
定义 1(数列):按照一定次序排列的一列数称为 数列
(Sequence of number)。
数列中的每一个数称为该数列的 项
,数列中的每个项都与所对应的序号有关。
数列的一般性质可以表示为:
简单地记作 \(\{x_n\}\)。数列中的第一项称为 首项
,\(x_n\) 称为数列的 通项
。
在 定义1
中,并没有限制数列包含的项数,按照数列项数是否有限,数列分为 有穷数列
和 无穷数列
。有穷数列并没有什么值得特别研究的地方,因此我们重点研究的是 无穷数列
。
另外,在中学阶段,我们学习过两种特殊的数列:等差数列
和 等比数列
。
等差数列
等差数列:基础
等差数列
又称为 算术数列
。
数列的后一项与前一项的差恒为常数的数列称为 等差数列
。
设 数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列,\(a_1\) 为首项,\(a_n\) 为通项,\(d\) 为公差,则有:
-
\(a_1\);
-
\(a_2=a_1+d\);
-
\(a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d\);
-
……
-
\(a_n=a_1+(n-1)d\)。
等差数列:前 n 项和
令 \(S_n\) 为等差数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和,则有:
因此有:
等比数列
等差数列:基础
等比数列
又称为 几何数列
。
数列的后一项与前一项(不为零)的比恒为常数的数列称为 等比数列
。
设 数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列,\(a_1\) 为首项,\(a_n\) 为通项,\(q\) 为公比,则有:
- \(a_1\);
- \(a_2=a_1q\);
- \(a_3=a_2q=a_1q^2\);
- ……
- \(a_n=a_{n-1}q=a_1q^{n-1}\)。
等差数列:前 n 项和
令 \(S_n\) 为等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和,则有:
而 \(q\cdot S_n\) 有
因此有:
即有:
以上,即为中学阶段所基础到的数列理论。下面,我们来更深层次地讨论数列理论。其中最重要的是数列的极限理论。
数列极限
定义 1
较为直观地定义了数列,下面结合集合理论,给出更加严谨的数列定义。
定义 2(数列):定义域为正整数集的函数
为 数列
。
在微积分或者数学分析中,我们只研究 实数列
,通常所指的 数列
即为实数列。
定义 3(实数列):定义域为正整数集的函数
为 实数列
,简称 数列
。
注 1:定义 2、3 与定义 1 有明显的不同。初学者可能会纠结这样一个问题:
按照定义 1,数列是一列数,或者说是按一定次序排列的数,而在定义 2、3 中,数列是一个函数,或者,数列是一个映射,两者怎么等同呢?
这里我们不纠结于两者概念形式上的不同,究其本质,他们是等价的。按照后者定义,数列可以理解为一种 整序变量
,与函数中的 变量
本质上没有什么不同。事实上,术语 数列
与 整序变量
并不加以区分(详细内容,请参考 菲赫金哥尔茨的微积分学教程 第一卷
)。
注 2:思考数列与集合的区别,尤其是数集
与 数列
的区别。
- 数列是一列数,数集也可以是一列数,两者有什么区别呢?
- 注意集合元素的无序性,数列中的各项数是有次序的。如
- 集合 \(\{1,2,3,4\}\) 与 集合 \(\{4,3,2,1\}\) 是同一个集合,而数列 \(x_n:1,2,3,4\) 与数列 \(y_n:4,3,2,1\) 不是同一个集合。
- 注意集合元素的互异性,数列中的各项数是允许重复的。如
- 集合 \(\{1,1,1,1\}\) 与集合 \(\{1\}\) 表示同一个集合,而数列 \({x_n}:1,1,1,\cdots,1,\cdots\) 则表示一个各项均为 \(1\) 的常数列。
数列极限:定义
定义 4(数列极限):设 \(\{x_n\}\) 为一数列,\(a\) 为一实常数,若对于任意给定的 \(\epsilon>0\),存在正整数 \(N\),使得当 \(n>N\) 时,成立
则称数列 \(\{x_n\}\) 收敛(converge)于 \(a\),\(a\) 称为数列 \(\{x_n\}\) 的 极限(limit),记作
读作:“\(n\) 趋于无穷时,\(x_n\) 趋于 \(a\)”。
极限定义的理解:
-
若数列 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(a\),则从某一项(第 \(N\) 项)开始,数值 \(x_n\) 与 \(a\) 相差任意小。
-
注意 \(\epsilon\) 的任意性
-
正数 \(\epsilon\) 必须是任意给定的,不能用一个很小的数进行代替。
-
“任意给定的 \(\epsilon>0\) “ 中的 ”\(\epsilon\) ” 虽然是任意给定的,但在描述极限时,应倾向于理解为
任意小
而非任意大
,意为:\[\text{无论} ~ \epsilon \text{取得有多小,只要}~ n ~ \text{取得足够大,总能成立} ~ |x_n-a|<\epsilon. \] -
既然强调的是 \(\epsilon\) 的任意小,那么允许将定义中的 \(\forall \epsilon>0\) 更改为
\[\forall \epsilon \in (0,1) \text{、} \forall \epsilon \in (0,\frac{1}{2})\text{……} \] -
-
注意 \(N\) 对 \(\epsilon\) 的依赖性
- 在正数 \(\epsilon\) 给定之后,满足条件 “\(\forall \epsilon>0,|x_n-a|<\epsilon\)” 的 \(N\) 对 \(\epsilon\) 的择取有一定的
依赖性
。 - 注意:\(N\) 对 \(\epsilon\) 仅有一定的依赖关系,没有
函数关系
。 - 常用 \(N(\epsilon)\)、\(N_{\epsilon}\) 等来代替 \(N\),以凸显这种依赖关系。
- \(N\) 对 \(\epsilon\) 的依赖性具体表现为:
- \(\epsilon\) 越小,满足条件的 \(N\) 越大;\(\epsilon\) 越大,满足条件的 \(N\) 越小。
- 当 \(\epsilon\) 足够大时,任意的正整数 \(N\) 均满足条件,即数列中的所有项都有 \(|x_n-a|<\epsilon\),此时对描述数列收敛与否没有任何作用。
- 在正数 \(\epsilon\) 给定之后,满足条件 “\(\forall \epsilon>0,|x_n-a|<\epsilon\)” 的 \(N\) 对 \(\epsilon\) 的择取有一定的
数列极限:敛散性
根据数列的收敛与否,可将数列分为 收敛数列
与 发散数列
。
有极限的数列称为 收敛数列
,反之,称为 发散数列
。
下面给出几个命题,以帮助理解数列的敛散性。
命题 1:数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)。
-
语言描述:即定义
“对于任意给定的 \(\epsilon>0\),存在正整数 \(N\),使得当 \(n>N\) 时,成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。
-
\(\epsilon-N\) 符号表述:
\[\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]
命题 2:数列 \(\{x_n\}\) 不收敛于 \(a\)。
-
语言描述:即定义的否定形式。根据量词取反的
对偶法则
,有"存在 \(\epsilon_0>0\) ,使得对于任意的正整数 \(N\),存在 \(n>N\),成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。
-
\(\epsilon-N\) 符号表述:
\[\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]
命题 3:数列 \(\{x_n\}\) 收敛。
-
语言描述:由定义
“存在一个实数 \(a\),对于任意给定的 \(\epsilon>0\),存在正整数 \(N\),使得当 \(n>N\) 时,成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。
-
\(\epsilon-N\) 符号表述:
\[\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]
命题 4:数列 \(\{x_n\}\) 发散。
-
语言没描述:命题 3 的否定形式。根据量词取反的
对偶法则
,有"存在 \(\epsilon_0>0\) ,使得对于任意的正整数 \(N\),存在 \(n>N\),成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。
-
\(\epsilon-N\) 符号表述:
\[\forall a \in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]
数列极限:几何意义
角度 1:将数列 \(\{x_n\}\) 中的各项在数轴上描述,即有直观的几何解释:
自某一项开始,数列 \(\{x_n\}\) 中的所有项均落在 以 \(a\) 点为中心、长度为 \(2\epsilon\) 线段内。
角度 2:既然数列是正整数集 \(\mathbb{N}_{+}\) 到实数集 \(\mathbb{R}\) 的函数,当然可以使用 图像法对其进行描述。
可将数列表示为函数形式:
则图像如下:
从图像中可以看出,数列中从第 \(N+1\) 项开始的所有项都落在以 \(a\) 为中心,宽度为 \(2\epsilon\) 的”条带“中。引入 邻域
的概念来描述这种关系,即:
因此,数列也可以按照这种几何性质进行定义。
定义 5(数列极限) :设 \(\{x_n\}\) 为数列,\(a\) 为一个实常数,若对于任意给定的 \(\epsilon>0\),在邻域 \(U(a;\epsilon)\) 外至多存在数列中的 有限项,则称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\),\(a\) 即为数列 \(\{x_n\}\) 的 极限。
基于该定义,同样可使用 \(\epsilon-N\) 语言描述数列的 敛散性。
(1)数列收敛:\(\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:x_n \in U(a;\epsilon)\)。
(2)数列发散:\(\forall a\in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:x_n \notin U(a;\epsilon_0)\)。
参考文献
[1] B. A. 卓里奇. 数学分析 第一卷. 第7版. 北京:高等教育出版社.2019.2.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京:高等教育出版社. 2010.7.
[3] 陈纪修,於崇华,金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京:高等教育出版社. 2004.7.
[4] 谢惠民,恢自求,易法槐等. 数学分析习题课讲义 上册. 北京:高等教育出版社. 2003.7.10.
[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程 上册. 第3版. 合肥:中国科学技术大学出版社. 2012.8.
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