麦森数（分治或快速幂）

 

 

分治： 麦森数的解题报告

题目分析：

第一问是很简单的，只需要求一个对数而已，数学原理：十进制正整数n的位数为int(log10(n))+1。所以2^P-1的位数int(log10(2)*p)+1 。

2^p = 10^(p*log10(2) )   , 所以2^p的位数是p*log10(2)。

第二问的关键是高精度乘法和指数幂的运算，而且由于题目要求最后500位数字，所以在计算乘法的时候我们只要求计算乘数的低500位就好了。

指数幂的运算不能硬乘，而要采用分治算法，否则就超时了。分治递归算法求指数幂是非常经典的，其数学原理是a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)，其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)。

另外我们也可以创建一个栈，记录每次执行(n /= 2)前n的值是奇数还是偶数，然后根据上面的数学原理，模仿递归的思路，从n=1或n=0开始逆向计算a^n。

采用递归算法的时候，由于存储高精度整数数组的大小是预置MAX = 1000，所以在调用递归函数的时候要按引用传递参数，否则到了后面空间就不够分配了。

为了满足“每行输出50位”的条件，我把存储高精度整数数组的元素设置成5位数，这样输出的时候只需每行输出10个元素就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include <cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define se second
#define fi first
const int INF= 0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+5;

int p,a[505],b[1005];

void quick(int x)
{
    if(x==0) return;
    quick(x/2);
    mem(b,0);    
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        for(int j=0;j<500;j++)
        {
            if(x&1)     b[i+j] += a[i]*a[j]*2;
            else   b[i+j] += a[i]*a[j];
        }
    }
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        a[i] = b[i]%10;
        b[i+1]+= b[i]/10;
    }
}

int main()
{
    cin>>p;
    a[0]=1;
    quick(p);
    
    a[0]--;
    int k=0;
    while(a[k]<0) a[k+1]--,a[k]+=10,k++;
    
    cout<< floor( p*log10(2)+1 )<<endl;
    for(int i=499;i>=0;i--)
    {
        cout<<a[i];
        if((i)%50==0) cout<<endl;
    }
}

 

接下来 套一套快速幂的模板。。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include <cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define se second
#define fi first
const int INF= 0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+5;

int p,a[1005],b[1005],c[1005],f[1005],d[1005];

void work1()
{
    mem(c,0);
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        for(int j=0;j<500;j++)
        {
            c[i+j] += a[i]*b[j];  //数组a就是原来快速幂模板中的ans, 数组b就是a 
        }
    }
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        f[i]=c[i]%10;
        c[i+1]+=c[i]/10;
        a[i]=f[i]; //更新a数组，即实现ans*=a的步骤 得到ans*=a后的ans 
    }
}
void work2()
{
    mem(d,0);
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        for(int j=0;j<500;j++)
        {
            d[i+j] += b[i]*b[j];
        }
    }
    for(int i=0;i<500;i++)
    {
        b[i]=d[i]%10;  //更新b数组，即实现 a*=a的步骤 
        d[i+1]+=d[i]/10;
    }
}

void quick(int x,int y)
{
    a[0]=1;  //ans  相当于给ans赋初值1 
    b[0]=x; // a  给a赋初值 2
    while(y)
    {
        if(y&1) work1();
        y>>=1;
        work2();
    }
}

int main()
{
    cin>>p;
    quick(2,p);
    
    f[0]--; int k=0;
    while(f[k]<0) f[k]+=10,f[k+1]--,k++;
    
    cout<<floor(p*log10(2)+1) <<endl;
    for(int i=499;i>=0;i--)
    {
        cout<<f[i];
        if(i%50==0) cout<<endl;
    }
    
}