题解：[USACO07DEC] Sightseeing Cows G

洛谷P2868

题目大意

有个 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图，点有点权，边有边权。

现在要找出一个环，使得点权和与边权和的比值最大。

思路

既然说要使得点权和与边权和的比值最大，那么就会想到 $01$ 分数规划。二分答案就不用说了，重点是这个 $check$ 函数。

$01$ 分数规划的板子中要检查的是你选出来的最优的那几个 $a_i-b_i \cdot p$ 之和是否大于 $0$。

那么我们类比一下，想想现在怎么检查：

• 我们可以寻找环，看看所选环中 $a_i-b_i \cdot p$ 的之和是否大于 $0$。
• 更简单一点的方式：转换为负权环问题（其实就是把权值取反）。
• 然后 板子题 $*$ $2$ ！

伪代码/框架

浮点数二分（想想精度是多少）

$check()$：

• 跑负权环板子（想想权值怎么算）
• 注意：每个点都是起点

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const double EPS = 1e-4; // 精度问题
 
int n, m;
double f[1010]; // 浮点数
double dis[1010]; // 浮点数，千万别忘了
int vis[1010]; // 记录是否在队列里
int sum[1010]; // 入队次数
 
struct edge // 边
{
	int y, w;
} ;
 
vector<edge> g[1010]; // 图
 
void add(int x, int y, int w) // 建边
{
	g[x].push_back((edge){y, w});
}
 
bool check(double mid) // 检查
{
	queue<int> q;
	memset(dis, 0, sizeof(dis)); // 每个点都是起点
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	memset(sum, 0, sizeof(sum));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		q.push(i); // 都要入队
		vis[i] = 1;
	}
	while (q.size())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for (int i = 0; i < g[x].size(); i++)
		{
			int y = g[x][i].y;
			int w = g[x][i].w;
			if (dis[y] > dis[x] + mid * w - f[x]) // 权值
			{
				dis[y] = dis[x] + mid * w - f[x];
				if (vis[y] == 0)
				{
					q.push(y);
					vis[y] = 1;
					sum[y]++;
					if (sum[y] >= n)
						return true; // 存在负权值情况下的负权环（即正权环）
				}
			}
		}
	}
	return false; // 不存在
}
 
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> f[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y, w;
		cin >> x >> y >> w;
		add(x, y, w);
	}
	double l = 0, r = 1000; // 浮点数二分
	while (r - l > EPS) // 二分
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid))
			l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.2lf\n", l); // 输出
	return 0;
}