csp-s105 T1 小W的魔术

字符串的题很头疼

不 会 擅长打表

考试想了将近2个小时

想到了重复的长什么样子

然而不会正确的加回来

甚至加多了发现有各种重复

感觉药丸，，，换题

 

证明：

想了两个小时

用总的-合法的

合法的有重复  恶心

设插入的串为x

那么所有插入后的串长这个样子:

abcXsgd

abcsgXd

考虑重复的情况，可以掐头去尾，变成Xsg和sgX类似的情况

就是$a+b==b+a$

不妨设a+b==b+a成立此时重复   倒着推出重复的前提条件

[...........][...]                  [..][...........]

[...][...........]         OR    [...........][..]

其中的X串是插入的可以任意设字母变化，剩下的是题目中给的串的一部分 是固定的

由于设了$a+b==b+a$成立，所以至少有一种方案使得为X安排字母使得$a+b==b+a$

那么在原串的插入情况中不仅有Xsg ,  sgX  这种情况  还会有 删掉一个（把下面的X往前插一个的情况）（Xs,sX）

由于原先有方案合法那么删掉一个的情况下一定可以合法（因为X可以自由安排）

：[...........][...]

　[...][...........] 由于合法  那么中间部分相同  左右两侧X的部分是继承固定串的，删掉一个后依然有继承能力

那么a+b==b+a重复的话说明a+一个长度为1的串（字母）==字母+b

  [...........][...]          [...........][.]

  [...][...........]   - >   [.][...........]

所以a+b==b+a的前提是a+字母==字母+b

那么要满足X的首字母等于这个字母

即：X的首字母==X插入后X的后一个字母

这就是发生重复串的前提条件。

如何避免

1.先都加上  最后减去

2.考虑加的时候少加一个（提前预知后方有串可以和准备加的重复时不加了）

第一种容易发现难以求出（也许根本不能）

第二种情况下由于每一次提前预知不加  $a=b=c$  预知$a=b$, $a$不加  $b=c$  $b$不加  可以解决连等多重复问题，很优秀

那么由得出的前提条件可以提前预知

X的首字母是可以随便安排的，所以只要后边有字母  X的首字母就不能填那一个（预知，不加）。

其余位置随便填  所以X的内部方案$25*26^{n-|s|-1}$   可以插在$|s|$个位置（不是$|s|+1$因为插在最后后边没有字母）

所以合法方案数为$25*26^{n-|s|-1}*|s|+26^{n-|s|}$;

用总的减去

答案：$26^{n}-   |s|*25*26^{n-|s|-1}  -   26^{n-|s|}$;