leecode 每日解题思路 64 Minimum Path Sum

题目描述：

题目链接：64 Minimum Path Sum

　　问题是要求在一个全为正整数的 m X n 的矩阵中， 取一条从左上为起点， 走到右下为重点的路径， （前进方向只能向左或者向右），求一条所经过元素和最小的一条路径。

其实，题目已经给出了提示：， 动态规划应该是最直接的解法之一。

 

 

　　这边我们了解到， 问题中只允许走到的每个点右移或者下移，这就意味着从起点开始， 都有两种后继路径（最后一行和最后一列除外），以此类推， 得到所有路径，然后取其中路径和虽小的值，就可以得到结果了。 但是！我们仔细想想，如果这么求解问题的话， 对于一个N X N 的矩阵， 他的可能路径条数有几条？（想想N层的二叉树的路径有几条）所以用这个思路的话， 可行， 但是不推荐，因为数据成长是O(2^N)的， 太可怕。

　　再想想，前面提到：

其实就是意味着： 从终点开始往前推， 都有两种前驱路径（第一行和第一列除外），最后一个点只可能从上边走下来，即为path_top或者从左边走过来path_left， 至于走哪条路， 自然是哪一条路径和小，就选择哪一条。

对于最后一个点1上边路径的最佳结果，已经从上边的红色区域中的带哦并累计到3这个点（另外需要一个路径和矩阵做记录）

对于最后一个点左边最小路径的结果，已经从左边的红色区域中得到并累积到8这个点（另外需要一个路径和矩阵做记录）

 

而对于以上红色区域的最后一个点， 也同样是从上层区域和左边区域已经求得的最优解来进行2选一操作， 做成最优解。

就像这样：

然后一直重复， 直到起点。

所以，对于(M,N)点处的结果， 必然是从（M-1）*N 矩阵 和 M* （N-1)矩阵中求取的， 

ok, 推理到这一步， 其实问题已经解决了， 所有的问题都是从起点开始， 所有的点都是由之前点上的路径和决定的。

 

从最简单的情形开始：对于一个2*2的举证， [0,0] 决定了[0,1]和[1,0]， 

这样[1,1]的最小值肯定是从[0,1]的4 和 [1, 0]的7中比较取值， 所以最后的到在终点[1,1]的最小取值4+2 = 6；

我们定义对于走到每个点的最小路径和矩阵path_sum[m][n], 以及给出的每个点上的值矩阵matrix[m][n]

得到： path_sum[i, j] =  min(path_sum[i-1][j], path_sum[i][j-1]) + matrix[m][n]

(注意， 上式中为处理边界是的情况， 只指出此递推式的核心步骤)；

说的可能有点乱， 但核心思想就是尽然你每个非边界的点只能往后两条去路， 那必然非边界的每个点都肯定也只有两条来路， 

最优解就是这两条来路里面2选一， done!

 

下面是个人的solution 代码， 仅供参考