蒙提霍尔问题

2022.3.10 update.见文章末。

题面

这其实是一个广为人知的问题。假设有这么个游戏，主持人拿了三个盒子，其中有一个有奖，另外两个是空的。你有两次选择机会，在第一次选择后，主持人没有告诉你你选的盒子有没有奖，而是打开了另外两个盒子中的一个，并且告诉你这个盒子没奖。现在轮到你选第二次，你是换盒子还是不换呢？

一般来说有两种回答，第一种观点认为，现在剩下的两个盒子一个有奖一个没奖，概率当然是 $1\over2$ ，换不换都一样。另一种结论则是，目前选择的盒子有奖的概率为 $1\over 3$ ，没奖概率是 $2\over 3$ ，当然是换嘛。

在高中学习过条件概率的 $hmj$ 立刻觉得第二种观点有问题！明明都已经告诉一个盒子是空的了，这条件概率能一点不变？然而概统老师无情地告诉我们，第二种观点是对的。于是 $hmj$ 苦思冥想了半节概统课，最终直到晚课通核摸鱼时才有点眉目。

这到底是怎么会事呢？

既然高中贫乏的概率论知识不管用了，我们还是使用严谨的式子先来表示下问题。

我们给盒子编号为 1、2、3，并且假设我们选的是 1 号：

$$设事件\; A=中奖、B=1\,号盒子有奖、C=主持人告诉我们的新信息\\ 那么在不换盒子时：\quad\begin{align*} P(A|C)& =P((A\cdot B) |C)+P((A\cdot\bar B)|C)\\ & = P((A|B)|C)\cdot P(B|C)+P((A|\bar B)|C)\cdot P(\bar B|C)\\ & = 1\cdot P(B|C)+0\cdot P(\bar B|C)\\ & = P(B|C) \end{align*}$$

$$换盒子时:\quad\begin{align*} P(A|C)& =P((A\cdot B) |C)+P((A\cdot\bar B)|C)\\ & =P(\bar B|C) \end{align*}$$

可以看到两个值都取决于条件概率 $P(B|C)$ 。而这个概率又和我们的 $C$ 事件有关，我们就从不同的 $C$ 的表述来讨论一下。

• $i$

从最直觉的方面来想，主持人告诉了我们一个盒子为空，不妨假设为 2 号盒子，此时 $C=2\,号盒子为空$，于是有：

$$P(B\cdot C)=\frac{1}{3}\;， P(C)=\frac{2}{3}\;\implies P(B|C)=\frac{1}{2}$$

于是乎，我们得到了得到结论一……没办法，我们只能认为这个假设 $C$ 有点问题。怎么设置新的事件 $C$ 呢？在某乎查到的一个观点给了我一些头绪，这个观点认为，如果主持人随机在另外两个盒子中开了一个，刚好是空的，那么结论一就是正确的。而如果主持人知道哪个盒子是空的，只打开这个，那么就是结论二正确。

• $ii$

顺着这个思路，我们考虑新的事件 $C$ 。这回假设事件 $C=主持人在,2、3,盒子里随机选取了一个，刚好没有奖$ ，于是有：

$$设\,D=2\,号盒有奖\\ P(B\cdot C)=\frac{1}{3}\\ \begin{align*} P(C) & =P(C\cdot D)+P(C\cdot \bar D\cdot\bar B)+P(C\cdot B)\\ & =P(C|D)\cdot P(D)+P(C|\bar D\cdot\bar B)\cdot P(\bar D\cdot\bar B)+\frac{1}{3} \\ & =\frac{2}{3} \end{align*}\\ \therefore P(B|C)=\frac{1}{2}$$

果然，我们再次回到了结论一。

• $iii$

根据上面的讨论，我们不妨大胆猜测，只有 $P(C)=1$ 时才能达到结论二。而上述观点的第二不妨刚好是这个情况。

在这种情况下，主持人知道哪个盒子是空的，也就是只打开空盒子。对于 $C$ 更加贴切的表述应该是“打开了一个空的盒子”，而不是“打开的盒子是空的”。即 $C=从剩下两个盒子中打开了一个空盒子$ ，此时 $P(C)=1$ ，因为剩下的两个盒子至少有一个没奖！

结论

至此，我们得到一个可能的结论，将两种不同的结论归结于主持人的两种行为方式。但是我们仍然很难感性理解这个结论，我们可以对这个结论提出明显疑问：其一，为何主持人主观的行为方式会影响这个游戏；其二，作为游戏的参与者，我们只知道有一个盒子被打开了，为何会有两种结果。

对于第一点，我们要明白，概率永远是基于现有信息，而不是基于具体事物。主持人的行为方式恰恰不是一个简单的主观事件，而是影响关键事件概率的要点。如果说我们不是参加这个游戏的人，只是路过看到两个盒子中的一个有奖，那么概率当然是 $1\over 2$ 。第二点则是这个问题违反直觉的原因，从参与者来看，我们很容易忽略主持人是知道盒子信息的，从而漏掉了一个条件。殊不知加上这个条件后，”有一个盒子被打开“完全变成了另一个事件。

终于，我们有了一个直觉和理论上都能满足需求的结论。最后不妨再用实验验证一下。

点击打开折叠的代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
int pow(int x, int p) {
    int ret = 1;
    while (p) {
        if (p & 1 == 1) ret *= x;
        x *= x;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
//重复试验1000000次
int t = 1000000;
//使用二进制表示是否有奖，如cha=1代表最初选择1号盒子
int state, cha = 1, chb;
//ans1/ans2表示奖在我们第一次选中的盒子的次数
//其中 ans1是主持人只选空盒，ans2随机选
//oth表示主持人随机选一个盒子，选中有奖的盒子的次数，
//用以调整随机选取情况的基数
int ans1, ans2, oth;
int main(int argc, char* argv[]) {
    srand((unsigned)time(NULL));
    while (t--) {
        state = pow(2, rand() % 3);
        chb   = pow(2, rand() % 2 + 1);
        if (chb & state) oth++;
        else if(cha & state) ans2++;
        if (cha & state) ans1++;
    }
    printf("%lf %lf", 1.0 * ans1 / 1000000, 1.0 * ans2 / (1000000 - oth));
    //0.333409 0.500310
    return 0;
}

（我觉得这种话里有话的题目……属实害人）

无知等同

在和数学超强的大佬交谈后，我得到了一个新的反直觉的原因的解释。

我们用掷硬币做一个糟糕的比喻。我们只知道硬币一共只有正反两种可能，并且概率各为 $1\over 2$ 。但是仔细想想，我们真的有办法知道这两面的概率吗？除了反复实验，我们好像没有任何办法来证明它的概率。每当出现这种情况时，我们就经常会以古典概型的经验认为这些样本点都是等可能的。

硬币的例子可能让你觉得不明所以，我们再来看看一个经典的悖论，贝特朗悖论。这个问题是在研究圆内随意画一条弦，长度大于其内接等边三角形的概率。从角度来看，这个概率会是 $1\over 3$，从线的平移来分析，概率又变成了 $1\over 2$，从点分布分析又会变成 $1\over 4$。这些分析对于它们选择的移动方法来说都是”均匀的“，甚至我们也不太能评判哪个更均匀，因为我们没有定义这个均匀到底是线分布均匀还是点分布均匀等等。可这些均匀恰恰是不同的。

当然，离散的情况是不会遇到这么离谱的悖论的。但是我们仍然警觉的反思，我们有没有”无知等同“呢？

我们确实这么做了，由于主持人的行为，盒子的概率变得不相等了。但是我们以”无知“的视角去看，只会看到有一个盒子被打开了，于是自然的假设概率等同，从而得到了 $1\over 2$ 这个答案。