关于n对碱基的DNA种类数问题

UPDATE

2020-2-29

经过一些同学的疑问后，我对此条目也发生了一些怀疑。

这种算法是基于，“ 两条链只是互相反向，但是不能区分 ” 这个观点来算的。

但是实际情况往往有很多可以区分的方法，比如有义链，着丝点等等，所以近似 $4^n$ ，与高中生物无太大差别。但是也不乏各种特殊情况， $DNA$ 的奥秘还没有一个定论。

所以此文仅当作理论化的特殊情况看就好了x。

此外，正文中开篇提出的题没有给出正确答案。

在此给出 “理论” 上的解：

首先考虑一条链的所有情况，一共有

$$4\times 2\times 4\times 2+4\times 2\times 2\times 2=96$$

明显这条链只有四个。

我们有 $ATCG$ 每个碱基 $2$ 个可以选。

第一个位置有四种性质，但是第二个时，如果选和第一个位置一类的碱基（比如都选了 $A$ 或 $T$ ，之后就只有 2种情况；反之有四种。这就是+号的意义

我们知道除了一种类似 ‘回文’ 一样的串只计了一次，我们要先找这种链的个数，等同于找长度为 $2$ 个碱基的链的个数，是 $4\times 4=16$ 。

最后在除二之前将这部分再多加一份就行了：

$$ans=\frac{96+16}{2}=56$$

（最后修正了些笔误

正文

某天在册子上做到了这么个问题：

• 如果有 $2$ 个 $A-T$ 碱基对和 $2$ 个 $C-G$ 碱基对，那么可能有多少种可能的 $DNA$ 片段？

我最初想是 $C^{2}_{4}\times 2^4\div 2$ ，和选项不符，也没多想就过了。

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上面那个式子的解释：

• 考虑 $4$ 个碱基对的有重复排列，是 $\frac{4!}{2!\times 2!}$ ，再考虑每个碱基有正反两种放法（如 $A-T$ 和 $T-A$ ），所以每个乘 $2$ 。最后注意到 $DNA$ 的反向对称使得其翻转过来是一样的，会有中心对称的情况，所以再除以 $2$ 。

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然后之后又做了关于 “ $n$ 对碱基的 $DNA$ 可能有多少种可能 ” 这样的题，答案竟然给了个 $4^n$ !

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$DNA$ 的种类其实是和上面的解释一样的：

• $n$ 个碱基对的排列有 $2^n$ ，然后每个碱基对两种情况再乘 $2^n$ ，最后（理应）除 $2$ 。

然而还有另外一种理解，可能对下面的思考更有用：

• 考虑一条链，$4$ 种碱基的排列有 $4^n$ 种 ，另一条靠碱基互补配对确定，最后再除 $2$ 。

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刚好有几位同学也有此疑问，于是我们开始思考其原因。

首先，有一个理论，由于 $DNA$ 是有方向的，两端并不一样，一端的磷酸连的是脱氧核糖上的 $5$ 号碳，所以将其命名为 $5`$ 端，另一端的羟基连的是 $3$ 号碳，所以称为 $3`$ 端。这个理论可能会造成两种可能间的微小的不同。

之后，我们思考了下其多算的原因：

• 第一种，由于碱基互补：

  $$\begin{vmatrix} A & T\\ C & G \end{vmatrix} \;\equiv\; \begin{vmatrix} G & C\\ T & A \end{vmatrix}$$

• 第二种，简单的对称:

  $$\begin{vmatrix} A & T\\ C & G \end{vmatrix} \;\equiv\; \begin{vmatrix} C & G\\ A & T \end{vmatrix}$$

然后，枚举了 $n=2$ 的所有情况

$$\begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (1) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (2) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & G\\ C & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (3) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (4) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (5) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (6) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (7) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (8) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (9) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (10)$$

可以发现，除了最后四种，都重复了两次，这是由于碱基配对的重复。而最后四种乍一看有重复，但是 $3`$ 和 $5`$ 是反的。

那么我们的重点就是如何找到只算一次的项。

可以发现，只要是按碱基配对变换后再倒过来和原来一样的链，都只会计一次。

例如：

$$\begin{vmatrix} 3 & 5\\ \color{red}{A} & \color{teal}{T}\\ \color{red}{T} & \color{teal}{A}\\ \color{red}{G} & \color{teal}{C}\\ \color{teal}{C} & \color{red}{G}\\ \color{teal}{A} & \color{red}{T}\\ \color{teal}{T} & \color{red}{A}\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ $$

而如何一样呢，只需要对半分开，然后计算一半长链的排列，另一半按配对填上就行了。即为 $4^{n\over2}$ 。而只有偶数长度会有这种情况，奇数是不行的。

最后我们只要在除之前将这部分再加一份，求可以不多除了！

$$Ans(n)=\begin{cases} \frac{4^n}{2} & \text{$n=2k+1$}\\ \frac{1}{2}\times(4^n+4^{\frac{n}{2}}) & n=2k \end{cases}$$

这就是结论的式子啦！

经过打表检验正确。

至于 $4^n$ 的来源，我们可以这么想，一般 $DNA$ 分子是凭依在蛋白质载体上，所以按具体情况有办法区分两条排列一样的链，所以所谓对称就不存在了，但是若是单独讨论 $DNA$ 答案即为而上述结论。

声明与感谢

感谢两位朋友 $yyy$ 和 $zyl$ 的指点。（@opethrax @BeyondLimits

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