积性函数筛法

很多常用的数论函数都是积性函数，而在题目中，我们常常需要线性（甚至更高）的筛法。

对于积性函数，我们可以在筛素数的基础上稍加修改，即可完成线性筛。

首先，注意到积性函数的特点：

\[f(xy)=f(x)\times f(y) \]

而可以线性筛的积性函数，需要知道以下两个式子的快速求法：

\[f(p)=?\quad f(p^k)=?\\p\in prime \]

其中， \(f(p)\) 大多是直接定义，\(f(p^k)\) 大多是递归定义。

我们来回忆一下素数筛的过程：

inp[0]=inp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!inp[i]){
        prime[++tot]=i;
    }
    for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
        int tp=prime[j]*i;
        inp[tp]=1;
        if(i%prime[j]==0){
            break;
        }
    }
}

在线性筛素数的基础上，我们可以进行线性筛的修改。

首先，对于判定的质数 \(p\) ，可以直接给出定义的值。

之后，对于 \(i\%p\neq0\) ，由于 \(i\) 和 \(p\) 互质，可以直接用积性函数性质推得。

然后，对于 \(i\%p == 0\) :

• 即 \(i\) 内的最小素因子是 \(p\) ，此刻可以将 \(i\) 内的素因子都除掉，然后就可以用积性函数的性质来递推了。为此，我们要记录一个最小质因子的幂次 \(low_i\) 。

  那么递推式就可以表示为：\(f(i\times p)=f(i/low_i)\times f(low_i\times p)\) 。

• 此处还有一个特殊的判定，当 \(i==low_i\) 时，上式相当于没推，所以我们要用 \(f(p^k)\) 的递推来计算。

那么代码如下：

inp[0]=inp[1]=1;
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!inp[i]){
        prime[++tot]=i;
        f[i]=对质数的定义式;
        low[i]=i;
    }
    for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
        int tp=prime[j]*i;
        inp[tp]=1;
        if(i%prime[j]==0){
            if(i!=low[i])
                f[tp]=f[i/low[i]]*f[low[i]*prime[j]];
            else
                f[tp]=对p的次幂的定义式；
            low[tp]=low[i]*prime[j];
            break;
        }
        f[tp]=f[i]*f[prime[j]];
        low[tp]=prime[j];
    }
}

缺点很明显，比较耗空间。（但是题目会给够的

当需要线性筛很多个积性函数时，可以同时进行。

这种基于素数筛的线性筛法，有时不止对积性函数有用，对于一些和素数有关的函数也可以筛出，具体在我写的莫比乌斯反演中有例子。

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