浅尝狭义相对论

小引

由于，某天有位物竞同学在群里发了道 $Lorentz$ 变换的题，本着求知精神（bushi，我花了一天时间搞了搞。但是，教学里充斥的悖论（佯谬）实在让人糊涂，就又花了一天把狭义相对论看了看。但也仅止步于与洛伦兹变换相关的内容，没有深入，仅了解了足够解释悖论的内容。

由于参考资料不够，部分内容为自己手推猜测，内容可能存在错误（还有，原谅我糟糕的手绘。

正文

从伽利略变换到洛伦兹变换

伽利略变换如下：

$$x'=x-ut\\ y'=y\quad z'=z\\ t'=t$$

是一种转换参照系的方程，默认时间不变。

然而这时出现了问题，详见 迈克尔逊-莫雷实验 ，此实验说明光速对于任何参照系的观察者来说不变。

依据伽利略变换来说肯定是有问题的。

洛伦兹认为，这是因为改变参照系时，尺长和时间出现一定改变。

所以他引入一个因子 $\gamma$ ，与速度有关，代表尺长的改变比例，即：

$$x'=\gamma(x-ut)\\ x=\gamma(x+ut)$$

并通过联立解出 $t$ 的变换式：

$$t'=\gamma(t+\frac{(1-\gamma^2)x}{u\gamma^2})\\ t=\gamma(t'-\frac{(1-\gamma^2)x'}{u\gamma^2})$$

此时，假设一人在运行的火车车尾，发射一光脉冲引爆车头一装置，车长 $x$ ，历时 $t$ 。

又有一人在地面观测到此过程历时 $t'$ 。因为光速不变，车内观测的距离是 $x=ct$ ，而车外观测的距离是 $x'=ct'$ 。这样就有一个关于 $x'$ 和 $t'$ 的方程，即可解出 $\gamma$ 。

$$\begin{cases} x'=\gamma(x-ut)\\ t'=\gamma(t+\frac{(1-\gamma^2)x}{u\gamma^2})\\ x'=ct'\\ x=ct\\ \end{cases} \\ \bf 解得：\\\rm \gamma^2=\frac{c^2t}{c^2t-u^2t}\implies \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$$

我们一般设 $\beta=\frac{u}{c}$ ， $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ 。将洛伦兹变换表示为：

$$x'=\gamma(x-ut)\\ y'=y\quad z'=z\\ t'=\gamma(t-\frac{u}{c^2}x)$$

两参照系的相对速度互为负值，所以反变换的式子只需将上式中 $u$ 前加个负号即可。

而在实际问题中，我们经常讨论的差值，即变化量来说：

$$\Delta x'=\frac{\Delta x-u\Delta t}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\\ \Delta t'=\frac{\Delta t-\frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$$

而两式只商为：

$$\frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x-u\Delta t}{\Delta t-\frac{u}{c^2}\Delta x}$$

取极限即为速度的变换式，但是右式我们并不好直接取，可以对右式上下同除一个 $\Delta t$ 再取，得：

$$v'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v}\\ v=\frac{v+u}{1+\frac{u}{c^2}v}$$

这即是佐证光速不变和光速是极限速度的式子。可以发现，将小于光速的速度叠加，将永远小于光速。

而将 $c$ 代入，结果永远是 $c$ 。

同时性

将时间作为坐标，兆示着 同时 这个概念不再严谨，譬如在参照系 $S$ 中的事件 $(x_1,0),(x_2,0)$ （由于 $y,z$ 在变换中没有改变，我们只讨论 $x,t$） 。

转换至 $S'$ 时：

$$t'= \gamma(t-\frac{u}{c^2}x)$$

两者的 $x$ 有差异，致使 $t'$ 不相同。于是，在 $S'$ 中两事件就不是同时发生的。

钟慢效应

即为：时钟在静止的参照系中最快。

注意时间间隔的洛伦兹变换式为：

$$\Delta t'=\frac{\Delta t-\frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\\ \Delta t=\frac{\Delta t'+\frac{u}{c^2}\Delta x'}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$$

下面的分母必然小于 $1$ 所以转换出来的 $\Delta t'$ 必然大于 $\Delta t$ ，意思是，在你看来，对方觉得一秒内的事情你觉得过了更长时间，即为对方的表慢了。有趣的是，由 $\Delta t'$ 转向 $\Delta t$ 也会出现相同情况。就成了互相看对面钟慢的局面。

注意，这里是指时间间隔大，意思是说，最明显的表现是表慢了，但其实万物的推进速度都会变慢。

至于这两者的互相矛盾，其实并不。两者只是观察角度不同，在两个参照系下，各自都是正确的。正如两个人互相远离后，都可以对对方说，“嘿，你看起来变矮了”。

借用耶鲁大学某教授神奇比喻：

” In fact,even more paradoxical is how in this world two people can simultaneously look down on each other“

事实上，更悖论的是世界上可以存在两人同时互相看不起对方。

尺缩效应

即为：米尺在静止的参照系中最长。

如何量取一个物品的长度呢，当然是 同时 截取其首尾，计算坐标差。

已知坐标间隔的洛伦兹变换为：

$$\Delta x'=\frac{\Delta x-u\Delta t}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\\ \Delta x=\frac{\Delta x'+u\Delta t'}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$$

因为必须同时测量， $\Delta t$ 就为 $0$ 那么就变成了：

$$\Delta x'(\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2})=\Delta x$$

既然 $\Delta t$ 为 $0$ ，那么 $\Delta x$ 就是你所观测到的长度，由于根号下的数小于 $1$ ，你所见的杆长会小于对面的。

两个悖论

• 假设 $A$ 以一个极高的速度与 $B$ 擦肩而过，这个速度使得尺缩为原来的一半。那么这时，$A$ 手上有个半米长的洞，$B$ 手上有个一米长的尺子。那么，在 $A$ 看来，尺子可以进去，在 $B$ 看来，一米的尺子当然进不去四分之一米的洞。然而即使两者的观察角度不同，尺能否进去的答案只能有一个，到底是能进去还是不能呢？

  

  答案是能进去。

  这个佯谬的关键在于同时性，也解释了尺缩的本质。在你眼里，你是同时量的尺子两端，尺子也是两端同时进去。而在对方眼里，你不是同时量的尺子，而尺子是一头先进洞，然后另一头再进去的。

• 双生子悖论

  假设有一对双生子，哥哥坐上火箭，高速远离地球再回来，而弟弟在地球上。按钟慢效应，哥哥会觉得弟弟年轻，弟弟会觉得哥哥年轻。然而两人中只有一人会更年轻，到底谁是对的呢。

  这个悖论在于，题中忽略了加减速阶段，狭义相对论只适用于惯性系，加减速是非惯性系，所以要用广义相对论。

  但是其实用狭义相对论也可以解释，解决方法就是闵氏时空。

  P.S. 在了解过程中发现了这个整活视频 。

闵可夫斯基时空

又称闵氏时空。将时间这一维加入坐标系来描述。

然而已经有三个正交轴了，剩下的时间轴塞哪呢。

于是乎我们将时间乘上 $ic$ ，即以 $ict$ 作为第四轴，这样既与三个轴正交，又解决了单位问题。（$i$ 为虚数单位，$c$ 为任意速度，当然根据事实是光速，这个稍后解释）。

由洛伦兹变换式可知，洛伦兹变换是个线性变换，放在闵氏时空里，就是一个坐标系转动。

距离

在坐标系变换中，我们首先要找到一个不变量，这个量就是距离 $s$ 。

既然是距离，那么当然是用类似勾股的方法，将平方加起来就好了：

$$s^2=|x^2+y^2+z^2+(ict)^2|\\ =|r^2-c^2t^2|$$

并且定义固有时 $\tau=\frac{\Delta s}{c}$ ，由于各参照系中距离是不变的，固有时就统一了不同参照系的时间。

并且此时，$c$ 就成了宇宙中的一个特殊的速度。

若一物体在参照系 $S$ 中以 $c$ 移动，其 $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 值为 $c$ ，即 $\Delta r=c\Delta t$ ，这样 $s$ 就为 $0$。

那么在任意参照系中 $s'$ 也为 $0$ ，那么其速度也是 $c$ 。（不管 $c$ 是不是光速）

那么根据事实得知的光速不变原理，我们将其认为是光速。

复坐标系

闵氏时空坐标是一个复坐标系，所以其中旋转矩阵的几个三角函数值要乘一个虚数单位 $i$ 。

由于 $y,z$ 在变换中始终不变，就只讨论 $ict-x$ 平面。

我们先把洛伦兹变换中的时间式换成 $ict$ :

$$t'= \gamma(t-\frac{u}{c^2}x)\implies ict'= \gamma(ict-i\frac{u}{c}x)$$

再把洛伦兹变换的矩阵形式写出来：

$$\begin{bmatrix} x'\\ ict' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & i\beta\gamma\\ -i\beta\gamma & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict \end{bmatrix}$$

会发现变换矩阵形式莫名地像旋转矩阵，而且：

$$\gamma^2+(i\beta\gamma)^2=1$$

那我们不妨来猜一猜，$\gamma=Cos\theta\;,\;i\beta\gamma=Sin\theta\;,\;i\beta=Tan\theta$ 。

将 $\gamma$ 中的 $\beta$ 项换成 $Tan\theta$ ，刚好化出来是 $Cos\theta$ 。并且由于是在复平面上， $Sin\theta$ 和 $Tan\theta$ 是虚数。

那么，洛伦兹变换就相当于将闵氏时空的坐标系逆时针旋转 $\theta$ ，其中 $Tan\theta=i\beta$ 。

通过闵氏时空解释尺短钟慢

如图，$ict'$ 坐标为 $3$ 的位置，在 $ict$ 中小于 $3$ 。反过来同理，这就是为何钟慢。

尺短也可以类似解释。

闵氏空间解释双生子佯谬

终于到了解决这个疑惑的时候了。

答案是出去旅行的哥哥更年轻。

原因如图，橙色线是飞船参照系的时间轴坐标网格。

可以看见，飞离地球时，哥哥一直认为弟弟所在时间进行的慢。

而在减速回途时，由于速度改变，参照系迅速扭转，这时哥哥观测下弟弟的时间会飞速加快，超过自己的。

而在回途后，哥哥会觉得弟弟时间变慢，但是参照系扭转程度极大，所以还是弟弟时间快。

而之前我们的纠结是因为忽略了变速阶段，出现了上图左边的时间跳跃，跳过了弟弟的一段时间。

当然还有更暴力的方法，计算固有时 $\tau=\frac{\sqrt{|x^2-c^2t^2|}}{c}$ 。

由于 $c$ 极大，所以结果肯定为负，而哥哥有 $\Delta x$ 值，所以绝对值会小一点，固有时也小，所以哥哥年轻。

声明和感谢

本文仅代表个人意见，不保证出现错误。

参考资料：

• 分钟物理
• 耶鲁大学公开课
• tck's blog 虽然感觉有错

部分参考源自百度百科和知乎

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