母函数浅析

母函数可以用于数列，概率，组合数学中，是个极其强大的工具。

定义

对于一个数列 $a_0,a_1,a_2,a_3\dots$ ，定义 $G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\dots$ 为其母函数（这里对是否无穷项并没有什么要求）。

看起来没什么用，但是我们看一个例子：

已知母函数 $G(x)=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^2+C^{3}_{n}x^3\dots$ 。

很明显，这是个二项式展开式，那我们不妨将其写成 $G(x)=(x+1)^n$ 。这里母函数的作用就体现出来了。我们可以将一个无穷式变成一个收敛形式，便于计算处理。

普通型母函数

首先来看看几个常见普通母函数：

1. $G(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots$

   由等比数列求和公式可知 $G(x)=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ ，这里的话 $q=x,a_1=1$ 。由于 $x$ 可以是任何数，我们不妨设其小于 $1$ 。那么 $q^n$ 趋近于 $0$ ，就得到收敛形式。

2. $G(x)=\frac{1}{1-kx}=1+kx+k^2x^2+k^3x^3\dots$

   证明同上。

3. $G(x)=\frac{1}{(1-x)^{n}}=C^{0}_{n+0-1}+C^{1}_{n+1-1}x+C^{2}_{n+2-1}x^2+C^{3}_{n+3-1}x^3\dots +C^{k}_{n+k-1}x^k\dots$

   证明：数学归纳法。

   假设 $n$ 的情况成立，那么对于 $n+1$ ：

   $$G(x)=\frac{1}{(1-x)^{n+1}}=\frac{1}{(1-x)^{n}}\frac{1}{(1-x)}\\ \bf 此时对于第\mit \;k\;\bf 项有：\\ \mit a_k=\sum^{k}_{i=1}C^{i}_{n+i-1}=C^{k}_{n+1+k-1}$$

   这里用到了 $C^{n}_{m}=C^{n-1}_{m-1}+C^{n}_{m-1}$，最后的递归边界由于 $C^{0}_{n-1}=C^{0}_{n+1-1}$ 所以就可以滚雪球上去。

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虽然好像母函数主要是被用在组合上，但是用其来解数列递推式也非常香（初赛的递推数列题可以用母函数暴力推），这里以斐波那契数列为例：

已知 $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ 。

那么对于其母函数 $T$ ，有：

$$\begin{align} T=f_0+f_1x+f_2x^2+f_3x^3+\dots\\ xT=f_0x+f_1x^2+f_2x^3+\dots\\ x^2T=f_0x^2+f_1x^3+\dots\\ \end{align} \\ \therefore T-f_0-f_1x=xT-f_0x+x^2T\\ \bf 解得： \mit \qquad T=\frac{1}{1-x-x^2}\\ $$

那么我们有了斐波那契数列母函数的收敛形式，只要将其向几个基本的母函数上靠，期望就能得到通项：

$$\begin{align} T=\frac{1}{-(\frac{\sqrt{5}-1}{2}-x)(\frac{-\sqrt{5}-1}{2}-x)}\\ \end{align}$$

可以看出其中有黄金分割率，看起来离正解不远了，我们设其为 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 然后继续：

$$T=\frac{1}{-\phi_1\phi_2(1-\frac{1}{\phi_1}x)(1-\frac{1}{\phi_2}x)}\\ =\frac{1}{(1-\frac{1}{\phi_1}x)(1-\frac{1}{\phi_2}x)}\\ $$

然后再裂个项：

$$T=\frac{1}{\sqrt{5}} (-\frac{\phi_2}{1-\frac{1}{\phi_1}x}+\frac{\phi_1}{1-\frac{1}{\phi_2}x})$$

根据几个基本母函数，斐波那契的通项为：

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$$

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除了解递推数列通项，普通型母函数还可以解一些无重复项的组合问题，如质数分解问题，将一个数 $n$ 分解成质数和的形式，有多少种本质不同的方法。

根据题意构建方程：

$$G(x)=(1+x^2+x^4+x^6+\cdots)\times(1+x^3+x^6+\cdots)\times(1+x^5+x^{10}\cdots)\times\cdots$$

化简后 $n$ 次项的系数即为方法数。

用这种方法甚至可以解决如凑零钱之类的 $dp$ 问题，但根据上例可以发现，系数是要手动爆枚的，所以复杂度上来说并没有什么实际意义。

指数型母函数

基本形式如下：

$$G(x)=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^i}{i!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

可以注意到阶乘的形式很特别，易联想到 $Taylor$ 展开 ，因为 $x$ 取值并没有什么关系，我们就取 $e^x$ 作为其收敛形式（与 $e^x$ 在 $0$ 处的展开式相同）。

那么同样，常见的指数型母函数有：

1. $G(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$
2. $G(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

皆为 $Taylor$ 展开式。

指数型母函数主要是为求解有重复项的组合问题，比如 $1,1,2,3$ 可以组合成的四位数个数，明显是 $\frac{4!}{2!}$ 个，这就是为何下面要除阶乘。

注意，最终我们需要的是 $\frac{x^n}{n!}$ 前的系数，可以发现，下面没有阶乘的项乘出来会自动个乘阶乘，而有阶乘的会把重复部分除掉，刚好达到预计效果。

如果还不明白可以找个例子手动操作一遍。

指数型母函数大多可以通过 $Taylor$ 展开找到通项，这是其优点。

如，求 $1,3,5,7,9$ 可以组成的 $n$ 位数个数。其中 $3,7$ 分别出现偶数次。

依照题意构建母函数：

$$T=(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots )^2\times(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots)^3\\ =(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2\times e^{3x}= \frac{1}{4}(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)\\ =\frac{1}{4} \sum^{\infty}_{i=0} (5^i+2\times3^i+1)\frac{x^i}{i!}$$

那么第 $n$ 项的系数是： $\frac{5^n+2\times3^n+1}{4}$ 。

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