费马小定理
定义
对于质数 \(p\)，当 \(a\) 是一个与 \(p\) 互质的整数时有：
\[a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p)
\]
当然也可以化成：
\[a^p\equiv a\quad (mod\; p)
\]
证明
数学归纳法
-
当 \(a=0\) 时，显然成立。
-
当 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 成立时：
\[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \tag1 \] -
然后我们根据 \((1)\) 式和 \(p\,|\,C_{p}^{i}\;(i\neq p,0)\) 可以得到：
\[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \equiv a^p+1\quad(mod\;p) \] -
因为我们已知 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 所以：
\[(a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1\quad(mod\;p) \]
欧拉定理证明
还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看，其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况：
- 已知欧拉定理 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad(mod\;p)\) ，当 \(p\) 是质数时， \(\varphi(p) =p-1\) 。
-EOF-
