费马小定理

定义

对于质数 $p$，当 $a$ 是一个与 $p$ 互质的整数时有：

$$a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p)$$

当然也可以化成：

$$a^p\equiv a\quad (mod\; p)$$

证明

数学归纳法

1. 当 $a=0$ 时，显然成立。

2. 当 $a^p\equiv a\quad (mod\;p)$ 成立时：

   $$(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \tag1$$

3. 然后我们根据 $(1)$ 式和 $p\,|\,C_{p}^{i}\;(i\neq p,0)$ 可以得到：

   $$(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \equiv a^p+1\quad(mod\;p)$$

4. 因为我们已知 $a^p\equiv a\quad (mod\;p)$ 所以：

   $$(a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1\quad(mod\;p)$$

欧拉定理证明

还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看，其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况：

• 已知欧拉定理 $a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad(mod\;p)$ ，当 $p$ 是质数时， $\varphi(p) =p-1$ 。

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