10-22 训练 T2 plate

传送门

题目大意

有N个圆盘，每个圆盘的圆周上均匀分布了P个点（可连成正P边形），编号$P_1$到 $P_n$。这P个点 中有M个关键点，所有关键点都是相同的。给出每个圆盘关键点位置的数据（对应的 $P_i$），现在 可以随意转动圆盘，问有多少对圆盘最终可以变成相同的形态。

思路

我们想要对两个序列进行比较，由于编号不一样，很明显想到比较间距。但是间距数列的首项不固定，如果在所有数列的循环同构（把数列首尾接成环，所有的展开而成数列都是循环同构）中暴力比较，复杂度为 $O(n^2)$ ，不太 $OK$ 。这时就出现了一个神奇的算法：最小表示。

通过最小表示将序列按间距的字典序最小的方式排列，然后 $O(n)$ 就可以比较了。

于是重点变成了如何以 $O(n)$ 处理最小表示。

最小表示法

将数列 $A$ 复制一份塞在其后来模拟环结构。

定义两个指针 $i$，$j$ （初始为 $1$ 和 $2$）记录两个长度为 $m$ 的数列的开头，定义 $k$ 为正在比较的位置距列首的距离。遍历 $k$，当比较发现 $A_{i+k}$ 和 $A_{j+k}$ 有差别时（这里不妨设是$A_{i+k}< A_{j+k}$ ），说明$A_{j},A_{j+1},A_{j+2},\dots,A_{j+k}$ 都不会是最小表示，那么我们将 $j$ 跳到 $j+k+1$ ，并且如果 $j=i$ 时，我们将 $j$ 再加一以保证比较的是两个不一样的排列。

如过 $k$ 遍历到了 $m$，说明两个排列完全相等，由于我们保证了不对比两个一样的排列，说明这时数列中的元素全部是一样的。这时跳出函数以任意点做起点就行了。

如果 $i$ 或 $j$ 有一个超过了 $m$ 那么所有的排列都被比较完了，那么仍在 $m$ 范围内的那个指针就作为数列的起点。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,p,ans;
int a[501][1001],dis[501][1001];
int st[501],num[501],fa[501];

int findd(int x){
	if(x!=fa[x]) return fa[x]=findd(fa[x]);
	else return fa[x];
}

void add(int x,int y){
	int anx=findd(x),any=findd(y);
	if(anx==any) return ;
	ans+=num[x];
	num[x]+=num[y];
	num[y]=0;
	fa[any]=anx; 
}


int main()
{
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
		num[i]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
        sort(a[i]+1,a[i]+1+m);
        for(int j=2;j<=m;j++){
        	dis[i][j-1]=a[i][j]-a[i][j-1];
		}
		dis[i][m]=a[i][1]-a[i][m]+p; 
		for(int j=1;j<=m;j++){
			dis[i][m+j]=dis[i][j];
		}
		int x=1,y=2,k=0;
		while(x<=m && y<=m){
			while(k<m && dis[i][x+k]==dis[i][y+k]) k++;
			if(k==m) break;
			if(dis[i][x+k] > dis[i][y+k]){
				x=x+k+1;
				k=0;
				if(x==y) x++;
			}
			else{
				y=y+k+1;
				k=0;
				if(x==y) y++;
			}
		}
	    st[i]=min(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			int flag=1;
			for(int l=0;l<m;l++){
				if(dis[i][st[i]+l] != dis[j][st[j]+l]){
					flag=0;
					break;
				}
			}
			if(flag){
				add(i,j);
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

最后统计答案做法很多，读者可以考虑别的做法。

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-EOF-