GCD及EXGCD 复习笔记
GCD
辗转相除法
证明
设实数 \(a\) 和 \(b\) ，我们要证明 $$gcd(a,b) == gcd(b,a % b) $$
-
证明 $gcd(a,b) | (a-b) $
可以发现，\(a==km\) ，\(b==lm\) ，\((a-b)==(k-l)m \quad(m \in N^*)\) 。
而 \(gcd(a,b)==m\)，易知 $gcd(a,b) | (a-b) $ 。
同理，设 \(a-b=kp\) ，\(b=lp\) ，那么 \(a=(k+l)p\) ，所以 \(gcd(a-b,b)|a\) 。
-
由 1 可得，\(gcd(a,b)\) 是 \(b,\,a-b\) 的公因数，和上面相似可以证出 \(gcd(a-b,b)\) 是 \(a,\,b\) 的公因数。由 \(gcd\) 的定义可知 \(gcd(a,b) \leq gcd(b,a-b)\) 且 \(gcd(a,b) \geq gcd(b,a-b)\)即 \(gcd(a,b) == gcd(b,a-b)\)。
-
而 \(a\) 重复减去 \(b\) 其实就是 取模。
Code
很简单，直接贴了。
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
-
注意 \(gcd\) 只能处理正数，负数处理方法见线性同余方程。
-
顺带一提，\(lcm\)（最小公倍数） \(\times gcd = a\times b\)
题
EXGCD
原理要用到 \(gcd\) ，但用处和 \(gcd\) 关联其实不是很大。
裴蜀定理
方程
至少有一组整数解。
证明
不难看出问题可以简化成：
其中，\(m\)、\(n\) 互质。即证明两个互质的数可以线性组合出 \(1\) 。
由 \(gcd\) 的过程我们发现，辗转相除的实质就是更相减损，即用两数线性组合。我们只要按照 gcd 过程倒推回来就行了，这个过程其实差不多就是 exgcd 了。
exgcd
根据裴蜀定理，我们知道，对于一个二元一次方程：
当 \(c\) 为 \(gcd(a,b)\) 的整数倍时，方程有整数解。
那么如何解这个方程呢？
原理
当 \(gcd(a,b)|c\) 时 ，我们将等式两边同除以 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\)：
设\(\frac{x}{c}\) 和 \(\frac{y}{c}\) 为 \(x'\) 和 \(y'\)，根据 \(gcd\) 的原理我们知道：
这样不断递归下去，直到：
然后回溯回去求得 \(x\) 和 \(y\) 。
Code
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;y=0;
}
else{
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
}
线性同余方程*
母题
求解
原式可以如下变换：
这样我们就能用 \(exgcd\) 求解了。
这里要注意，\(exgcd\) 求解的是
我们要给求出的解进行处理才行。
下面我们来上题
例题
luogu P1082 MOD
模板啦直接贴代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
}
else{
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
}
int main()
{
int a,b;
int x,y;
scanf("%d %d",&a,&b);
//a,b互质
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d",((x%b)+b)%b);
return 0;
}
[luogu P1516] 青蛙ha的约会
- 题目大意：
求满足 \(x+k\times n \equiv y+k\times m \quad (mod \; l)\) 的最小的 \(k\) 。
- 推柿子：
然后几乎就转化成裸题辽。
- 细节
我们发现 \(m-n\) 可能是负数，但是 \(exgcd\) 只能处理正数，所以要小小变换一下。因为我们只需要知道 \(k\) ，就可以这样：
- \(Code\)
#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef int int_;
#define int long long
using namespace std;
int n,m,wa,wb,l;
int mod(int o,int p){
return ((o%p)+p)%p;
}
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;y=0;
}
else{
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
}
int_ main()
{
scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&wa,&wb,&n,&m,&l);
wa=mod(wa,l);wb=mod(wb,l);
int a=m-n,b=l,c=wa-wb;
if(a<0){
a=-a;
c=-c;
}
int g=gcd(a,b);
if(c%g != 0){
printf("Impossible");
return 0;
}
a/=g;b/=g;c/=g;
int x,y;
exgcd(a,b,x,y);
x*=c;
x=mod(x,b);
printf("%lld",x);
return 0;
}
[luogu P2421] 荒岛野人
- 题目大意
和上题稍有不同，这题是两两求 \(c_i+k\times p_i \equiv c_j+k\times p_j\quad (mod\; M)\) 在 \(min(l_i,l_j)\) 内无正整数解。
- 做法
很简单，只需从小到大枚举\(M\) ，然后检验每两个人都不会相遇就ok。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000000
int n,maxx,c[20],p[20],l[20];
int mod(int o,int M){
return ((o%M)+M)%M;
}
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1,y=0;
}
else{
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
}
bool work(int i,int j,int m){
int a=p[i]-p[j],b=m,d=c[j]-c[i];
if(a<0){
a=-a,d=-d;
}
int g=gcd(a,b);
if(d%g != 0){
return false;
}
a/=g,b/=g,d/=g;
int x,y;
exgcd(a,b,x,y);
x*=d;
x=mod(x,b);
if(x <= min(l[i],l[j])) return true;
else return false;
}
bool check(int m){
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(work(i,j,m)){
return false;
}
}
}
return true;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d %d %d",&c[i],&p[i],&l[i]);
maxx=max(maxx,c[i]);
c[i]--;
}
for(int i=1;i<=maxn;i++){
if(check(i)){
printf("%d",max(maxx,i));
return 0;
}
}
return 0;
}
