GCD及EXGCD 复习笔记

GCD

辗转相除法

证明

设实数 $a$ 和 $b$ ，我们要证明 $$gcd(a,b) == gcd(b,a % b)$$

1. 证明 $gcd(a,b) | (a-b)$

   可以发现，$a==km$ ，$b==lm$ ，$(a-b)==(k-l)m \quad(m \in N^*)$ 。

   而 $gcd(a,b)==m$，易知 $gcd(a,b) | (a-b)$ 。

   同理，设 $a-b=kp$ ，$b=lp$ ，那么 $a=(k+l)p$ ，所以 $gcd(a-b,b)|a$ 。

2. 由 1 可得，$gcd(a,b)$ 是 $b,\,a-b$ 的公因数，和上面相似可以证出 $gcd(a-b,b)$ 是 $a,\,b$ 的公因数。由 $gcd$ 的定义可知 $gcd(a,b) \leq gcd(b,a-b)$ 且 $gcd(a,b) \geq gcd(b,a-b)$即 $gcd(a,b) == gcd(b,a-b)$。

3. 而 $a$ 重复减去 $b$ 其实就是 取模。

Code

很简单，直接贴了。

int gcd(int a,int b){
   return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

• 注意 $gcd$ 只能处理正数，负数处理方法见线性同余方程。

• 顺带一提，$lcm$（最小公倍数） $\times gcd = a\times b$

题

luogu P1029

EXGCD

原理要用到 $gcd$ ，但用处和 $gcd$ 关联其实不是很大。

裴蜀定理

方程

$$ax+by=gcd(a,b)$$

至少有一组整数解。

证明

不难看出问题可以简化成：

$$ax+by=gcd(a,b) \iff mx+ny=1$$

其中，$m$、$n$ 互质。即证明两个互质的数可以线性组合出 $1$ 。

由 $gcd$ 的过程我们发现，辗转相除的实质就是更相减损，即用两数线性组合。我们只要按照 gcd 过程倒推回来就行了，这个过程其实差不多就是 exgcd 了。

exgcd

根据裴蜀定理，我们知道，对于一个二元一次方程：

$$ax+by=c$$

当 $c$ 为 $gcd(a,b)$ 的整数倍时，方程有整数解。

那么如何解这个方程呢？

原理

当 $gcd(a,b)|c$ 时 ，我们将等式两边同除以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$：

$$ax+by=c \iff a\times \frac{x}{c}+b\times\frac{y}{c}=gcd(a,b)$$

设$\frac{x}{c}$ 和 $\frac{y}{c}$ 为 $x'$ 和 $y'$，根据 $gcd$ 的原理我们知道：

$$b\times x''+a\%b \times y''= gcd(b,a\% b)\\ \implies b\times x''+(a-b\times \lfloor\frac{a}{b}\rfloor)\times y''=gcd(b,a\%b)\\ \implies a\times y''+b\times (x''-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y'')=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)\\ \implies a\times y''+b\times (x''-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y'')=ax'+by' \\ \therefore x'=y''\qquad y'=x''-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y''$$

这样不断递归下去，直到：

$$gcd(a,b)\times x'''+0\times y'''=gcd(a,b)\\ \therefore \ x'''=1\qquad y'''=0$$

然后回溯回去求得 $x$ 和 $y$ 。

Code

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

线性同余方程*

母题

求解

$$ax \equiv b \ (mod \ p)$$

原式可以如下变换：

$$(a\times x)\%p=b\%p \iff (a\times x-b)\%p=0\\ \implies ax+b=py \\ \implies ax+p(-y)=b$$

这样我们就能用 $exgcd$ 求解了。

这里要注意，$exgcd$ 求解的是

$$ax+p(-y)=gcd(a,p)$$

我们要给求出的解进行处理才行。

下面我们来上题

例题

luogu P1082 MOD

模板啦直接贴代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

int main()
{
	int a,b;
	int x,y;
	scanf("%d %d",&a,&b);
	//a,b互质 
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d",((x%b)+b)%b);
	return 0;
}

[luogu P1516] 青蛙ha的约会

1. 题目大意：

求满足 $x+k\times n \equiv y+k\times m \quad (mod \; l)$ 的最小的 $k$ 。

2. 推柿子：

$$(x+k\times n )\%l = (y+k\times m)\%l\\ \implies (x-y)+(n-m)\times k=l\times \lambda\\ \implies (m-n)\times k+l\times \lambda=x-y$$

然后几乎就转化成裸题辽。

3. 细节

我们发现 $m-n$ 可能是负数，但是 $exgcd$ 只能处理正数，所以要小小变换一下。因为我们只需要知道 $k$ ，就可以这样：

$$(m-n)\times k+l\times \lambda=x-y \iff (n-m)\times k+l\times (-\lambda)=y-x$$

4. $Code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef int int_;
#define int long long
using namespace std;

int n,m,wa,wb,l;

int mod(int o,int p){
	return ((o%p)+p)%p;
}

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}



int_ main()
{
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&wa,&wb,&n,&m,&l);
	wa=mod(wa,l);wb=mod(wb,l);
	int a=m-n,b=l,c=wa-wb;
    if(a<0){
    	a=-a;
    	c=-c;
	}
	int g=gcd(a,b);
	if(c%g != 0){
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	a/=g;b/=g;c/=g;
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	x*=c;
	x=mod(x,b);
	printf("%lld",x);
	return 0;
}

[luogu P2421] 荒岛野人

1. 题目大意

和上题稍有不同，这题是两两求 $c_i+k\times p_i \equiv c_j+k\times p_j\quad (mod\; M)$ 在 $min(l_i,l_j)$ 内无正整数解。

2. 做法

很简单，只需从小到大枚举$M$ ，然后检验每两个人都不会相遇就ok。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000000

int n,maxx,c[20],p[20],l[20];

int mod(int o,int M){
	return ((o%M)+M)%M;
}

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

bool work(int i,int j,int m){
	int a=p[i]-p[j],b=m,d=c[j]-c[i];
	if(a<0){
		a=-a,d=-d;
	}
	int g=gcd(a,b);
	if(d%g != 0){
		return false;
	}
	a/=g,b/=g,d/=g;
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	x*=d;
	x=mod(x,b);
	if(x <= min(l[i],l[j])) return true;
	else return false;
}

bool check(int m){
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(work(i,j,m)){
				return false;
			}
		}
	}
	return true;
}




int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d %d %d",&c[i],&p[i],&l[i]);
		maxx=max(maxx,c[i]);
		c[i]--;
	}
	for(int i=1;i<=maxn;i++){
		if(check(i)){
			printf("%d",max(maxx,i));
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}

---

-EOF-