NOTE - 随笔分类 - T_horn

摘要：前置知识数论分块数论分块，还可以称为整除分块。可以注意到，对于一个数

n

$n$ ,

⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 呈现一种块状分布，并且对于

⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的一块来说，最后一个数是$\lfloor\frac{n} 阅读全文

posted @ 2020-02-24 19:50 T_horn 阅读(257) 评论(0) 推荐(0) 编辑

积性函数筛法

摘要：很多常用的数论函数都是积性函数，而在题目中，我们常常需要线性（甚至更高）的筛法。对于积性函数，我们可以在筛素数的基础上稍加修改，即可完成线性筛。首先，注意到积性函数的特点：

f (x y) = f (x) \times f (y)

$f(xy)=f(x)\times f(y)$ 而可以线性筛的积性函数，需要知道以下两个式子的快速求法： \[ f 阅读全文

posted @ 2020-02-24 19:47 T_horn 阅读(232) 评论(0) 推荐(0) 编辑

浅尝狭义相对论

摘要：小引由于，某天有位物竞同学在群里发了道

L o r e n t z

$Lorentz$ 变换的题，本着求知精神（bushi，我花了一天时间搞了搞。但是，教学里充斥的悖论（佯谬）实在让人糊涂，就又花了一天把狭义相对论看了看。但也仅止步于与洛伦兹变换相关的内容，没有深入，仅了解了足够解释悖论的内容。由于参考资料不够，部分内阅读全文

posted @ 2020-02-05 19:38 T_horn 阅读(629) 评论(1) 推荐(0) 编辑

扩展 Lucas 定理

摘要：原问题求：

C_{m}^{n} (m o d p)

$C^{n}_{m}\quad(mod\;p)$ 其中，

n

$n$ ，

m

$m$ 很大，不能够直接求阶乘。

p

$p$ 大小可接受但是不保证是质数。学过

L u c a s

$Lucas$ 定理后，我们知道其限制是

p

$p$ 必须为质数。我们可以分解问题：既然去了这个条件，我们可以将阅读全文

posted @ 2020-01-27 02:39 T_horn 阅读(223) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Lucas定理

摘要：内容

C_{m}^{n} \equiv C_{⌊ \frac{m}{p} ⌋}^{⌊ \frac{n}{p} ⌋} \times C_{m % p}^{n % p} (m o d p)

$C^{n}_{m}\equiv C^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}_{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor} \times C^{n\%p}_{m\%p}\quad(mod\;p)$ 条件是

p

$p$ 为质数。

L u c a s

$Lucas$ 定理的主阅读全文

posted @ 2020-01-27 02:30 T_horn 阅读(158) 评论(0) 推荐(0) 编辑

母函数浅析

摘要：母函数可以用于数列，概率，组合数学中，是个极其强大的工具。定义对于一个数列

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots

$a_0,a_1,a_2,a_3\dots$ ，定义

G (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} \dots

$G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\dots$ 为其母函数（这里对是否无穷项并没有什么要求）。看起来没什么用，但是我们看一个例子：已阅读全文

posted @ 2020-01-17 19:06 T_horn 阅读(861) 评论(2) 推荐(1) 编辑

Miller-Rabin素数测试

摘要：首先，总之，很玄学。学过费马小定理

a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)

$a^{p-1}\equiv1\quad(mod\;p)$ 后，我们知道其逆定理不一定成立。而对于

a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)

$a^{p-1}\equiv1\quad(mod\;p)$ 成立但不是素数的

p

$p$ ，称之为伪素数。但是据统计（是的你没看错）后，我们发现对于每阅读全文

posted @ 2019-11-23 18:36 T_horn 阅读(301) 评论(0) 推荐(0) 编辑

素数筛

摘要：最基础的找素数的方式是从

2

$2$ 到

x - 1

$x-1$ 全除一遍，后来变成除到

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ 就行辽（因为因数是成对出现的）。既然判一个数要

O (n)

$O(n)$ 不如一边把小于

n

$n$ 的数全判了。就出现了筛法。首先是埃筛（埃拉特斯托尼筛法）由于素数唯一分解定理，我们只要记阅读全文

posted @ 2019-11-23 17:58 T_horn 阅读(262) 评论(0) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理

摘要：CRT 其实

E X

$EX$ 很简单，和普通几乎一样，先上普通版只是心理缓冲为什么普通版还没淘汰啊。作用：解线性同余方程组。即： \[ \begin{cases} x\equiv a_1\quad(mod\;m_1)\\ x\equiv a_2\quad(mod\;m_2)\\ \quad \ 阅读全文

posted @ 2019-11-19 17:28 T_horn 阅读(300) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉定理及扩展

摘要：本篇很多推论基于质数唯一分解定理，请读者先行了解。欧拉函数定义有两种：定义欧拉函数

φ (x)

$\varphi(x)$ 表示小于

x

$x$ 且与

x

$x$ 互质的数的个数，定义

1

$1$ 与任何数互质。定义剩余类

c_{i}

$c_i$ 是

m o d x = i

$mod\;x=i$ 的数的集和，即所有 \(a\% 阅读全文

posted @ 2019-11-19 15:24 T_horn 阅读(828) 评论(0) 推荐(0) 编辑

费马小定理

摘要：定义对于质数

p

$p$ ，当

a

$a$ 是一个与

p

$p$ 互质的整数时有：

a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)

$a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p)$ 当然也可以化成：

a^{p} \equiv a (m o d p)

$a^p\equiv a\quad (mod\; p)$ 证明数学归纳法当

a = 0

$a=0$ 时，显然成立。当阅读全文

posted @ 2019-11-19 15:22 T_horn 阅读(1267) 评论(0) 推荐(1) 编辑

逆元

摘要：定义在取模意义下的运算中，加减乘法都可以进行

a x

$ax%p=a%p \times x%p$ 这样的结合操作，然而除法不能这么做。那么对于取模意义下的：

a x \equiv 1 (m o d p)

$ax\equiv1\quad(mod\;p)$ 我们就称

x

$x$ 为

a

$a$ 模

p

$p$ 意义下的逆元，即 \(inv( 阅读全文

posted @ 2019-11-19 15:18 T_horn 阅读(262) 评论(0) 推荐(0) 编辑

树链剖分学习笔记

摘要：luogu 3384 模板内容主要就是如何在树上用线段树问题有两个：区间修改某一节点的子树并统计和区间修改两节点间的最短路上的节点并统计和这里就要引入DFS序的概念如上图，可以发现一棵树的前序遍历会使得一个节点的子树是一个连续的序列，如果我们建一个数组来记录每个节点所能到达的最深的子节阅读全文

posted @ 2019-10-22 10:39 T_horn 阅读(154) 评论(0) 推荐(0) 编辑

GCD及EXGCD 复习笔记

摘要：GCD 辗转相除法证明设实数

a

$a$ 和

b

$b$ ，我们要证明

g c d (a, b) == g c d (b, a

$gcd(a,b) == gcd(b,a % b)$ 证明

g c d (a, b) | (a - b)

$gcd(a,b) | (a-b)$ 可以发现，

a == k m

$a==km$ ，

b == l m

$b==lm$ ，\((a-b)==(k-l)m \quad(m \in N^*) 阅读全文

posted @ 2019-10-21 20:17 T_horn 阅读(358) 评论(0) 推荐(2) 编辑

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