loj #2325. 「清华集训 2017」小Y和恐怖的奴隶主

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题目类型：传统评测方式：文本比较

"A fight? Count me in!" 要打架了，算我一个。

"Everyone, get in here!" 所有人，都过来！

小Y是一个喜欢玩游戏的OIer。一天，她正在玩一款游戏，要打一个Boss。

虽然这个Boss有 $1010010^{100}10100 点生命值，但它只带了一个随从——一个只有 mmm 点生命值的“恐怖的奴隶主”。$

这个“恐怖的奴隶主”有一个特殊的技能：每当它被扣减生命值但没有死亡（死亡即生命值 $≤0\leq 0≤0），且Boss的随从数量小于上限 kkk，便会召唤一个新的具有 mmm 点生命值的“恐怖的奴隶主”。$

现在小Y可以进行

输入第一行包含三个正整数

接下来

输出共

可以证明，所求期望一定是一个有理数，设其为 $qp/q（gcd(p,q)=1\mathrm{gcd}(p,q) = 1gcd(p,q)=1），那么你输出的数 xxx 要满足 p≡qx(mod998244353)。$

输入

输出

499122177
415935148
471393168

样例1解释

对于第一次询问，第一次攻击有 $12\frac{1}{2}21 的概率扣减Boss的生命值，有 12\frac{1}{2}21 的概率扣减随从的生命值，所以答案为 12\frac{1}{2}21。1≡2∗499122177(mod998244353)。$

对于第二次询问，如果第一次攻击扣减了Boss的生命值，那么有 $12\frac{1}{2}21 的概率第二次攻击仍扣减Boss的生命值，有 12\frac{1}{2}21 的概率第二次攻击扣减随从的生命值；如果第一次攻击扣减了随从的生命值，那么现在又新召唤了一个随从（“恐怖的奴隶主”），于是有 13\frac{1}{3}31 的概率第二次攻击扣减Boss的生命值，有 23\frac{2}{3}32 的概率第二次攻击扣减随从的生命值。所以答案为 12∗12∗2+12∗12∗1+12∗13∗1+12∗23∗0=1112\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*2+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*1+\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1+\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*0 = \frac{11}{12}21∗21∗2+21∗21∗1+21∗31∗1+21∗32∗0=1211。11≡12∗415935148(mod998244353)。$

样例二

见附加文件下的 ex_2.in 与 ex_2.ans。

该组样例的数据范围（除询问组数

在所有测试点中， $\leq T \leq 1000, 1 \leq n \leq {10}^{18}, 1 \leq m \leq 3, 1 \leq k \leq 81≤T≤1000,1≤n≤1018,1≤m≤3,1≤k≤8。$

各个测试点的分值和数据范围如下：

测试点编号	分值		$n\leqn≤$
1	3	10	10	1	1
2	8		10	2	8
3	7		${10}^{18}1018$		3
4	12				7
5	30	20		3	5
6	10	500			6
7	10	200			7
8	5	1000			7
9	10	100			8
10	5	500			8

/*
    f[i][a][b][c]代表剩下多少次攻击次数（abc的意义同前面）的情况下期望打几次BOSS。
    举个例子，如果你剩下0步，那么显然你一次都打不了。答案就是f[n][][][]，比如说m=3就是f[n][0][0][1]，m=2就是f[n][0][1][0]；
    那么f[i][a][b][c]由f[i-1][a'][b'][c']转移其中状态abc能推到状态a'b'c'。（比如说abc=4 1 2,a'b'c'=5 0 3）
    以上几句话是这道题的核心，期望dp倒着转移在此题得到很深刻的体现
    设计转移矩阵p[i][j]代表状态j能推到状态i的概率
    但是有一种转移f[i][a][b][c]=(f[i-1][a][b][c]+1)*(1/(a+b+c+1))无法处理，很简单，我们只需要在转移矩阵的最后一列多开一行，这行的第j列表示的是第j个状态的1/（a[j]+b[j]+c[j]+1），那么在答案矩阵的最后多开一列，这一列的第一个数为1，那么在转移的时候就会把1/（a+b+c+1）多算一次
    我们先预处理矩阵的 2^t 次方, 然后询问时相当于一堆矩阵乘一个向 量. 由于矩阵乘法具有结合性, 我们先将最右边的矩阵乘上向量, 得 到的还是一个向量, 继续这一过程即可. 
*/ 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 998244353
using namespace std;
int p[210][210],dp[10][10][10];
int x[210],y[210],z[210],len;
int T,m,K,inv[21];
long long n;
struct node{
    int c[210][210];
    inline friend node operator * (const node a,const node b){
        node res;
        for(int i=1;i<=len;i++)
        for(int j=1;j<=len;j++){
            long long now=0;
            for(int k=1;k<=len;k++){
                now+=1LL*a.c[i][k]*b.c[k][j];
                if (now>=(long long)8e18)now%=mod;
            }
            res.c[i][j]=now%mod;
        }
        return res;
    }
    inline friend node operator + (const node a,const node b){
        node res;
        for(int i=1;i<=1;i++)
        for(int j=1;j<=len;j++){
            long long now=0;
            for(int k=1;k<=len;k++){
                now+=1LL*a.c[i][k]*b.c[k][j];
                if (now>=(long long)8e18)now%=mod;
            }
            res.c[i][j]=now%mod;
        }
        return res;
    }
}f[70],g;
inline int Pow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=(1LL*res*a)%mod;
        a=(1LL*a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    freopen("Cola.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&T,&m,&K);
    for(int i=1;i<=20;i++)inv[i]=Pow(i,mod-2);//求逆元 
    for(int i=0;i<=K;i++)
        for(int j=0;j<=K-i;j++)
            for(int k=0;k<=K-i-j;k++){//分别枚举三种生命值的随从个数，统计所有状态 
                if(m==1&&(j||k))continue;
                if(m==2&&k)continue;
                len++;x[len]=i;y[len]=j;z[len]=k;
                dp[i][j][k]=len;
            }
    len++;
    for(int i=1;i<=len;i++)//准备矩阵p[][] 
        p[len][i]=inv[x[i]+y[i]+z[i]+1];
    for(int i=1;i<len;i++)
        for(int j=1;j<len;j++)
            if(i==j)p[i][i]=inv[x[i]+y[i]+z[i]+1];
            else{
                if(z[i]){//打生命值为3的随从 
                    int xx=x[i],yy=y[i]+1,zz=z[i]-1;
                    if(xx+yy+zz<K){
                        if(m==1)xx++;
                        if(m==2)yy++;
                        if(m==3)zz++;
                    }
                    if(xx==x[j]&&yy==y[j]&&zz==z[j])p[j][i]=1LL*inv[x[i]+y[i]+z[i]+1]*z[i]%mod;
                }
                if(y[i]){//打生命值为2的随从 
                    int xx=x[i]+1,yy=y[i]-1,zz=z[i];
                    if(xx+yy+zz<K){
                        if(m==1)xx++;
                        if(m==2)yy++;
                        if(m==3)zz++;
                    }
                    if(xx==x[j]&&yy==y[j]&&zz==z[j])p[j][i]=1LL*inv[x[i]+y[i]+z[i]+1]*y[i]%mod;
                }
                if(x[i]){//打生命值为1的随从 
                    int xx=x[i]-1,yy=y[i],zz=z[i];
                    if(xx==x[j]&&yy==y[j]&&zz==z[j])p[j][i]=1LL*inv[x[i]+y[i]+z[i]+1]*x[i]%mod;
                }
            }
    for(int i=1;i<=len;i++)
        for(int j=1;j<=len;j++)
            f[0].c[i][j]=p[i][j];
    for(int i=1;i<=60;i++)f[i]=f[i-1]*f[i-1];
    while(T--){
        cin>>n;
        memset(g.c,0,sizeof(g.c));
        g.c[1][len]=1;
        for(int i=60;i>=0;i--)//一个向量与若干个矩阵相乘 
            if((1LL<<i)<=n){
                n-=1LL<<i;
                g=g+f[i];
            }
        printf("%d\n",g.c[1][dp[m==1][m==2][m==3]]);
    }
    return 0;
}

posted @ 2018-01-05 16:49 Echo宝贝儿阅读(1045) 评论(0) 编辑收藏举报

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#2325. 「清华集训 2017」小Y和恐怖的奴隶主

题目描述

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样例

输入

输出

样例1解释

样例二

数据范围与提示

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