洛谷P1066 2^k进制数

P1066 2^k进制数

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W< span>≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

 

输出格式：

 

输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 7

输出样例#1：

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题

 

第一类：位数为2—len-1的2k 进制数种数； 它等于从2k -1个数中分别不重复地取2个、3个、…….len-1个数的不同组合数之和,C(2k-1,i)

注意这里的i不仅要小于w/k，还要小于maxk

第二类：位数已经达到len的2k 进制数种数； 这类数的首位可能够是1，2，……2k-i-1，从第2位开始取数时每次都要扣除小于左边相邻数的这些数，因此可供选择的数越来越少，累加起来是∑c(2k –(i+1),len)，(1<=i<=2k )。

注意这里的i不仅要小于maxq，还要保证需要的数字数不能大于剩下可选的数字数

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[205],b[205],c[205];
struct node{
    int zu[205],len;
    node operator + (const node x)const{
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(int i=1,j=len;i<=len;i++,j--)a[i]=zu[j];
        for(int i=1,j=x.len;i<=x.len;i++,j--)b[i]=x.zu[j];
        int l=max(x.len,len);
        for(int i=1;i<=l;i++){
            c[i]+=a[i]+b[i];
            c[i+1]+=c[i]/10;
            c[i]=c[i]%10;
        }
        while(c[l+1]){
            l++;
            c[l+1]+=c[l]/10;
            c[l]%=10;
        }
        node res;res.len=l;
        for(int i=1,j=l;i<=l;i++,j--)res.zu[i]=c[j];
        return res;
    }
}f[515][515];
void prepare(){
    for(int i=0;i<=510;i++)
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(j==0||i==j){f[i][j].len=1;f[i][j].zu[1]=1;}
            else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
        }
}
int main(){
    freopen("Cola.txt","r",stdin);
    node ans;ans.len=0;
    prepare();
    int k,w;
    scanf("%d%d",&k,&w);
    int maxk=(1<<k);
    int p=w/k,q=w-p*k;
    int maxq=(1<<q);
    for(int i=2;i<=p&&i<maxk;i++)ans=ans+f[maxk][i];    
    for(int i=1;i<=maxq-1&&p+i<maxk;i++)ans=ans+f[maxk-i][p];
    for(int i=1;i<=ans.len;i++)printf("%d",ans.zu[i]);
}