codevs3002 石子归并3

3002 石子归并 3

题目描述 Description

有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。

输入描述 Input Description

第一行一个整数n（n<=3000）

第二行n个整数w1,w2...wn  (wi <= 3000)

输出描述 Output Description

一个整数表示最小合并代价

样例输入 Sample Input

4

4 1 1 4

样例输出 Sample Output

18

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据范围相比“石子归并” 扩大了

这个题和石子归并1唯一的区别就是数据范围变大了

于是用基本的做法写出来就TLE，只能得50分

这道题正确的解法是四边形不等式优化dp，为此初步了解四边形不等式优化方法

通俗的说，就是多了一个s[l][r]数组，用以记录得到l到r区间的最优解用的是哪个点作为断点

关于s[][]的正确性的证明我还没能弄懂，不过其原理很显然，在石子归并问题中其断点随区间向右移动，是有单调性的，因此有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)

所以在区间l到r内枚举断点时只需要枚举s[l][r-1]~s[l+1][r]之间的点

复杂度降为n^2

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=3010,inf=1000000000;
int f[maxn][maxn],s[maxn][maxn];
int n,a[maxn],w[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        w[i][i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        w[i][j]=w[i][j-1]+a[j];
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i][i]=i;
    for(int p=1;p<n;p++){
        for(int i=1;i<=n-p;i++){
            int j=i+p;
            f[i][j]=inf;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]){
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j];
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",f[1][n]);
}