约数和问题 (codevs2606 && 洛谷2424)
题目背景
Smart最近沉迷于对约数的研究中。
题目描述
对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和。例如:f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X,Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗?
输入输出格式
输入格式:
输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。
输出格式:
输出只有一行,为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。
输入输出样例
2 4
14
123 321
72543
说明
对于20%的数据有1≤X<Y≤10^5。
对于60%的数据有1≤X<Y≤1*10^7。
对于100%的数据有1≤X<Y≤2*10^9。
这题卡了好久,题目很简单很好理解,可推公式的确是件棘手的事
首先想到的方法是用前缀和的思想,ans [l~r]=ans[1~r] – ans[1~l-1]
求1~n的约数和,用的是这种方法:
1:1/2=0 ans=1
2:2/2=1 2/3=0 ans=1*2+2=4
3:3/2=1 3/3=1 3/4=0 ans=1*3+1*2+3=8
4:4/2=2 4/3=1 4/4=1 ans=2*2+1*3+1*4+4=15
原理很明显
n除以一个数a,的数就是1~n这些数中以a为因数的数的个数,再乘以a,就是一个因数和
最后加上n是由于n本身是n的因数
可是糟糕,这种方法会超时,只得了60分
60分代码
#include<iostream> using namespace std; long long l,r,al,ar; long long work(long long a){ long long result=0; for(long long i=2;i<=a;i++){ if(a/i==0)break; result+=(a/i)*i; } result+=a; return result; } int main(){ cin>>l>>r; al=work(l-1); ar=work(r); cout<<ar-al; }
无计可施的我在这道题上崩溃了,心塞……
晚饭后,去找元元问这个题,才终于明白过来
这题思路是没毛病的,但是TLE的问题说明代码需要优化加速
用等差数列优化
首先根据之前的发现,以4为例,会发现4/3=1,4/4=1,同样的,在别的数字上也会出现类似的情况,而且数字越大,这种情况的出现越多,我把3,4分别叫做本例中情况的左右边界。而且不难发现这种情况的连续序列中因数都是等差的,差为一,所以可以直接利用等差数列求和
最后我发现,这个代码怎么写都丑。
等差数列求和公式
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long l,r; long long work(long long x){ long long result=0; long long d=1,b;//d是左边界,b是右边界 while(1){ b=x/(x/d); long long some=x/d; result+=((b+d)*(b-d+1)/2)*some; d=b+1; if(x/d==0)break; } return result; } int main(){ cin>>l>>r; long long al=work(l-1); long long ar=work(r); cout<<ar-al; }