同余方程 (codevs1200)

题目描述×××

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式×××

输入格式：

 

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

 

思路：

这个题与扩展欧几里得求逆元有密切的联系

巧了，题目中的式子正是我们喜闻乐见的求逆元的形式a*x≡1(mod  m) 

x称为a关于模m的乘法逆元

我们可以将上面那个逆元的式子转化成这个样子

a*x+m*y=1

如果在x与m互质的情况下，这不就是一个扩展欧几里得的基本式子吗(gcd(a,m)=1），所以说，这又在gcd(a,m)=1的时候逆元才有整数解，直接套入扩展欧几里得，会得到一组 x, y，然后

x=x % m

y=y % m

就能得到最小解了，因为这个式子:

x=x0+m*t

y=y0+m*t

 

于是对于这个题，我们只需把这对特殊解x0求出来，然后向它加m直到x0>0

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    gcd(a,b,x,y);
    while(x<=0)x+=b;
    cout<<x;
    return 0;
}