D2下午

前言

至于为什么D2要分上下午，唯一的原因就是lyd那个毒瘤用了一上午讲他昨天要讲的鬼畜东西，所以今天下午才开始讲数论了

对了，补一下lyd的数论人

《数论人》（大雾）				数论的光束是歌德巴赫
那是谁？是谁？是谁？			将数论之力 集于一身
那是数论 数论人 数论人			正义的英雄
背负着纯粹数学之名				数论人 数论人
舍弃了一切（指实际生产）去战斗的男人
数论之箭是费马大定理
数论之耳是四色定理
数论之翼是黎曼猜想

开始吧

各种各样的高精

这个魔鬼上来就讲高精度

因为都学会了，就直接看当年的博客吧（惆怅

快速幂

这个其实是基于倍增思想？（反正很多东西都是相通的

其实就是/2下取整等等操作，代码如下

int power(int a, int p） {
    long long res = 1;
    while (p)
    {
        if (p & 1)
            res = res * a;
        a = a * a;
        p >>= 1;
    }
    return res;
}

矩阵乘法

一个i行k列的矩阵乘上一个k行j列的矩阵会变成i行j列的矩阵

答案矩阵的第i，j个元素为A矩阵第i行第k个元素乘B矩阵第k行第j个元素，k是从1到m，就是一个矩阵的行乘另一个矩阵的列

上一下代码

for (int i = 1;i <= n; ++i)
    for (int k = 1;k <= m; ++k)
        for (int j = 1;j <= r;++j)
            c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];

矩阵乘法常常用于求一些线性的递归方程组，可以起到非常牛逼的加速作用

比如斐波那契的矩阵就是

1 1
1 0
[f[n], f[n - 1] ] * [矩阵] ^ k = [f[n + k], [n + k - 1] ]

矩阵快速幂基于以下的原理，即可以找到一个矩阵 M使得
[F(n-1) F(n)]T * M = [F(n) F(n+1)] T

以斐波拉期数列为例：M = ((1 1) (1 0))

以此类推：

[F(0) F(1)]T * Mn = [F(n) F(n+1)]T

我们成功将一个递推式转化成了一个求矩阵幂的问题

利用快速幂算法可以将时间缩短为 O(d^3 logn)

利用 FFT + 矩阵特征多项式的黑科技可以把时间进一步缩短到 O(dlogdlogn)

我们来试着写一下下面的矩阵：

F(n) = 7F(n-1) + 6F(n-2) + 5n + 4 * 3^n

先考虑转换前后的两个矩阵，肯定要有所有在转换中需要的

我们发现如果要从f[n-1]转换到f[n]，要用到f[n-1],f[n-2],n,3^n，我们就先写上这些

然后发现n要转换到n+1就需要个1，再加上1就好了

[f[n - 1], f[n - 2], n, 3 ^ n, 1]

[f[n], f[n - 1], n + 1, 3 ^ (n + 1) ,1]

然后按照递推式搞一搞就ok

高斯消元

这个东西和行列式求值也比较像，其实就是用矩阵运算吧
这是曾经的一个代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
double n, a[20][20], ans = 1;
int sum;
inline void CH1(int x, int y, double k) //第y行减k*x
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[y][i] -= (double)(k * a[x][i]);
}
inline void CH2(int x, int y) //交换x列和y列
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        swap(a[i][x], a[i][y]);
}
inline double CH3(int x, double k) //把第x行提出一个公因数k
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[x][i] /= k;
    return k;
}
int main()
{
    scanf("%lf", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            scanf("%lf", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {   
        sum=i;
        while (a[i][i] == 0 && sum<=n) //对是否a[i][i]是0的特判
        {
            CH2(i, sum + 1); //交换x列和y列
            ans *= -1;
            sum++;
        }
        ans *= CH3(i, a[i][i]);
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            CH1(i, j, a[j][i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans *= a[i][i];
    printf("%0.0lf", ans);
    return 0;
}

这个是lh神仙的高斯消元

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pr;
const double pi = acos(-1);
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; i++)
#define per(i, n, a) for (int i = n; i >= a; i--)
#define Rep(i, u) for (int i = head[u]; i; i = Next[i])
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
ld eps = 1e-9;
ll pp = 1000000007;
ll mo(ll a, ll pp)
{
    if (a >= 0 && a < pp)
        return a;
    a %= pp;
    if (a < 0)
        a += pp;
    return a;
}
ll powmod(ll a, ll b, ll pp)
{
    ll ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = mo(a * a, pp))
        if (b & 1)
            ans = mo(ans * a, pp);
    return ans;
}
ll read()
{
    ll ans = 0;
    char last = ' ', ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
        last = ch, ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        ans = ans * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if (last == '-')
        ans = -ans;
    return ans;
}
//head
int n, m;
double a[100][100];

bool check(int k)
{
    if (fabs(a[k][n + 1]) < eps)
        return 1;
    rep(i, 1, n) if (fabs(a[k][i]) > eps) return 1;
    return 0;
}
int main()
{

    n = read();
    m = n;
    rep(i, 1, m)
        rep(j, 1, n + 1) a[i][j] = read();

    int flag = 0;
    rep(i, 1, n)
    {
        int t = i;
        while (a[t][i] == 0 && t <= n)
            t += 1;
        if (t == n + 1)
        {
            flag = 1;
            continue;
        }
        rep(j, 1, n + 1) swap(a[i][j], a[t][j]); //交换两行
        double kk = a[i][i];                     //每一行对角线上的值
        rep(j, 1, n + 1) a[i][j] /= kk;
        rep(j, 1, m) //循环m个式子 开始消元
            if (i != j)
        {
            double kk = a[j][i];
            rep(k, 1, n + 1)
                a[j][k] -= kk * a[i][k];
        }
    }
    if (flag)
    {

        return printf("No Solution\n"), 0;
    }
    rep(j, 1, m)
    {
        printf("%.2lf", a[j][n + 1] / a[j][j]);
        puts("");
    }

    return 0;
}

数论好恶心

筛法

筛法的话一般就是埃拉托色尼筛或者是欧拉筛（线性筛）

埃拉托色尼筛

思想就是所有质数的倍数都被筛掉

    memset(b, false, sizeof(b));
    int tot = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!b[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            for (int j = i * 2; j <= n; j += i)
                b[j] = true;
        }
    }

欧拉筛（线性筛）

保证了所有的数只被最小的质因数筛掉

欧拉筛还可以用来维护一些复杂的函数值
如：逆元、一个数的质因数分解中最大的指数的值

积性函数

积性函数：对于所有互质的 x 和 y，F(x * y) = F(x) * F(y)

完全积性函数：对于所有 x 和 y ，F(x * y) = F(x) * F(y)

常见的积性函数：
欧拉函数 φ(n) ：不超过 n 与 n 互素的数的个数

若则