4.4清北学堂Day1 主要内容：数论，数学
Day 1;
1、常见的高精
- 输入输出都用字符数组；
- 字符数组的实际长度用strlen()来求；
- 运算时倒序运算，把每一个字符都-‘0’
- 进位的处理上也要注意；
- 小数减大数时先判断大小然后加负号
- 只能用while不能用if 因为if只能去掉一个0，while去掉所有的前导零
高精减：
高精乘；
通过逐位相乘，进完位之后输出
2、特殊处理
高精数除以单精数
压位技巧：
把对十取模变成了%10000或者更长，对加和减没啥用，但是乘除的时候能够大量提高速度，复杂度为o(n/m);
在int下可以最多压9位，能够很好的减少时间
2、模意义下运算
模7意义下的运算
模意义下运算这一块比较难，主要还是日后求逆元的时候比较费劲
3*3=2 4+5=2 4-5=6
即3*3 mod 7=2
无除法运算（但可以用逆元来代替）
满足基本的交换律、分配率、结合律
对中间结果取模不影响最终答案 ；
5*5*5 mod 7 = 6
(5*5 mod 7)^5 mod 7 = 4*5 mod 7
快速幂
计算a^b%p=?
暴力O(b)
两种解决思路：
分治
分治代码pow(a,b)%c
快速幂
快速幂代码
b&1指二进制下b的第一位
费马小定理
t=b*a^(p-1)=b
t=b*1=b
/a=*a^(p-2);
用费马小定理的方法来代替/a;
PS!!!!!
O(1)计算组合数：
第三步进行了拆分，把两个阶乘拆开了
最后发现组合数只与n！、（n！）^(p-2)
一个很省时间的模板。。。。。。但是不习惯用
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
清零
Ps：快读比scanf快4倍左右
GCD和LCM
没什么可讲的，唯一注意的是用GCD求LCM要注意顺序。。。。前一种有可能会爆
筛素数
弱智筛法就不贴了
下面是埃氏筛
先补一个很有意思的东西
1+1/2+1/3+1/4+....+1/n=log n
线性筛代码
欧拉函数
对于大范围内求质因数个数硬解肯定太慢，用线性筛优化
先用线性筛找到每一个数的最小质因子(rec[i])
分析：第二个if里，当i的指数>=2时就可以直接乘，（主要是看rec[i]对于phi[i]的贡献,例如一次幂二次幂等）当指数>2时，说明i因数分解式当中有多个该质因子，那么我们就可以直接相乘。
例如：
36=2^2*3^2
Phi[36]=phi[18]*2
=2*1*3*2=6;=12
18=2*3^2
Phi[18]=2^(1-1) * (2-1) * 3^(2-1) * (3-1)
=1*1*3*2=6;
否则在(i/rec[i])基础上乘该数最小质因子的欧拉函数（即rec[i]-1）。
例如phi[15]和phi[30]
Phi[15]=(3-1)*(5-1)=8
Phi[30]=(2-1)* (3-1)*(5-1)=8
=phi[30/2]*(2-1)=8
通过对欧拉函数的应用，我们可以慢慢的发现这条定理：
欧拉定理
矩阵
1、
- 一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵
- 一个m×p的矩阵A 乘 一个一个p×n的矩阵B 得到一个矩阵一个m×n的矩阵AB
- 其中
乘法的时候，第i行第j列就等于原本两个矩阵里头前矩阵i行和后矩阵j列全部元素对应相乘
- 注意！矩阵乘法满足结合律、分配率
- 不满足交换律
应用：
求斐波那契数列第k项的值
Fi表示斐波那契第i项
0 1 f1 f2 f2
1 1 f2 f1+f2 f3
0 1 K-1次幂 f1 fk
1 1 f2 fk+1
代码实现
ans起初是单位矩阵
计算f(n) = 4f(n-1) – 3f(n-2) + 2f(n-4) 的第k项
套模板，先找一个矩阵看能不能使得前矩阵通过运算变成后矩阵，可以通过在前（n-1）行用01来求解，最后一行按题目要求的系数填入的方法
邻接矩阵
表示第i行的点能不能到第j个点上
比如
可以得到
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
矩阵的k次幂表示走几步能到达
高斯消元
1、 应用场景：解齐次线性方程组
例：
解齐次线性方程
2x + y - z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
可以得到
2 1 -1 8
-3 -1 2 -11
-2 1 2 -3
常规的高斯消元法只需要循环（或者递归）求解即可
有一个很重要的区别
行列式消元的时候，当a[i][i]==0的时候，对该列进行交换；
矩阵消元的时候，当a[i][i]==0的时候，则i++；
代码实现：
行列式 emmmm其实应该在矩阵前头啊
1.把齐次线性方程组的矩阵拿出来构成一个行列式，若值为0则无解或无穷多解，非0则有解
2.解法：用高斯消元消成上三角就行，或者降阶求解
矩阵逆元：
若矩阵B*A=I则称B为A的左逆元
有逆元的前提：矩阵行列式不为0
求左逆元：对于A矩阵的第二行减去第一行，其实就是对于一个换单位矩阵在单独的某一行进行系数变换
左逆元其实就是高斯消元过程中的矩阵连乘
同理，右逆元是对列进行系数变换
矩阵树定理
- 一个图的邻接矩阵G：对于无向图的边(u,v)，G[u][v]++,G[v][u]++
一个图的度数矩阵（有多少条边与之相连，那么他的度数就是多少）D：对于无向图的边(u,v)，D[u][u]++,D[v][v]++
- 而通过这两个矩阵就可以构造出图G的基尔霍夫矩阵：C=D-G.
- Matrix Tree定理：将图G的基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列(i可以取任意值，可以证明所得到的结果相同)，得到(n-1)*(n-1)的矩阵，对这个矩阵进行行列式的值求解，abs(det(A))即为图G的生成树个数。
