tarjan，点双和边双学习笔记。

发现之前学的真的一塌糊涂呢(/ω＼)

很多非常精髓的地方理解的都不够好，比如说为啥我要用一棵 dfs 树来为框架，跑 tarjan？这里我就理解的不好，所以我来重新写一篇，加深加深印象。

以下一切默认为无向图。

0. 基本概念

这里面说的非常不严谨，只是为了方便理解啦 awa

连通分量：你可以简单的理解为连通块
dfs 树：我们可以 dfs 一张图，我们 dfs 会形成一棵树。
dfs 序：dfs 树中每个点是被第几个 dfs 到的。 $dfn(u)$ 代表 $u$ 的 dfs 序。
树边：在 dfs 树上的边。
反向边：不在 dfs 树上的边。我们很容易发现一点，如果 $(u, v)$ 不在 dfs 树上，那么 $u$ 一定是 $v$ 的祖先，这个很容易用反证法证明

1. 割点与桥

割点是什么嘞？比如说我删掉一个点，这个图的连通块数量就变多了。这个点就叫割点。

这个东西和连通性有关，和连通性有关的问题经常用 dfs 树，因为有棵树的话，那么我们在其中删去任何一个点/边这棵树都会不连通。那么对于一张图 $G$ ，我们先变出来它的 dfs 树 $T$ 。我们假定这个 $G$ 是连通图。

我们来考虑 $u$ 点是不是割点：

$u$ 是根。
容易发现只要 $u$ 点有两个以上的子树，那么 $u$ 就是割点。
$u$ 不是根。

定理：非根节点 $u$ 是割点，当且仅当 $u$ 的儿子里面有一个点 $v$ 满足 $v$ 的子树中（含 $v$ ）无法通过一条反向边走到 $u$ 的祖先节点（不包括 $u$ ），那么 $u$ 是 $G$ 的一个割点。
证明：酱紫一张图。我们再次达成共识，返祖边 $(u, v)$ 一定是祖先和后代关系，不可能有一条边会跨 dfs 的两棵子树，手玩一下就可以了 qwq
第一张图就是 $v$ 和它子树没有一条反向边连到 $u$ 的祖先，那么这个时候只可能在 $v$ 子树内部狂暴连边，那么删掉 $u$ 很显然子树 $v$ 就会变成一个新连通分量、
第二张图是 $v$ 的子树里面有一条边连到了 $u$ 本身，不过这也无济于事删掉 $u$ 后子树 $v$ 还是会变成一个新的连通分量。
第三张图是 $v$ 的子树里面有一条边连到了 $u$ 的祖先，很显然 $u$ 不是割点。
dfs 树只有树边和反向边，所以只有上面三种情况，证毕。

那么问题就变成了，如何快速判断子树 $v$ 连一条边能否走到 $u$ 的祖先。

还记得 dfs 序吗？再次强调，在 dfs 树中没有一条边能够横跨两个子树。也就是说 $(u, v)$ 一定是祖先/后代关系（包括父子关系）。如果 $u$ 为 $v$ 祖先，那么一定有 $dfn(u) < dfn(v)$ 。有了 $dfn$ 还不够，我们还可以定义一个 $low$ 。 $low(u)$ 为点 $u$ 的子树中走一条边能连到的最早的祖先的 $dfn$ 值。我们就可以这样重新写 $u$ 不是根的割点判定条件：如果 $u$ 有一个子节点 $v$ 满足 $low(v)\ge dfn(u)$ ，那么 $u$ 是割点。

唯一的问题就在于 $low(u)$ 怎么求了。这也比较容易

$(u, v)$ 为树边（ $u$ 是父亲），那么 $low(u) = \min\{low(v)\}$ 。
$(u, v)$ 为返祖边，（ $v$ 是祖先），那么 $low(u) = \min\{low(v), dfn(u)\}$ 。

值得一提的是，有向图的 tarjan 算法 low 的更新与此不同，有些人对此提出了疑惑，我个人感觉这就是对算法理解不好，我之前就这样 qwq(*/ω＼*)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
vector <int> gra[MAXN + 10];
bool vis[MAXN + 10], chk[MAXN + 10];
int DFN = 0, dfn[MAXN + 10], low[MAXN + 10], root;
void dfs(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++DFN;
	int child = 0;
	for(int p = 0; p < gra[u].size(); p++) {
		int v = gra[u][p];
		if(!dfn[v]) {
			child++; dfs(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(low[v] >= dfn[u] && u != root) chk[u] = 1;
		}
		else if(v != fa) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	if(child >= 2 && u == root) chk[u] = 1;
}
void init() {
	int n, m; cin >> n >> m;
	for(int p = 1; p <= m; p++) {
		int x, y; cin >> x >> y;
		gra[x].push_back(y);
		gra[y].push_back(x);
	}
	
	for(int p = 1; p <= n; p++) {
		if(!dfn[p]) {
			root = p;
			dfs(p, p);
		}
	}

	int cnt = 0;
	for(int p = 1; p <= n; p++)
		if(chk[p])
			cnt++;
	cout << cnt << endl;
	for(int p = 1; p <= n; p++)
		if(chk[p]) cout << p << ' ';
}
int main() {
	init();
}

请注意我们特别记录了 $u$ 点的父亲 $fa$ ，这样可以防止把树边误判成反向边。在割点中不记录它是可以的，因为我们走树边会吧 $low(v)$ 变成 $dfn(u)$ ，但是这对 $low(v) \le dfn(u)$ 没有影响。不过对割边是有影响的，为了规范最好记录。

相应的，割边是什么嘞，如果我把一条边删掉，连通分量变多了，那么这条边就叫割边。

我们会发现割边这东西长得真的和我们的个点很像，定理如下

对于图 $G$ 的 dfs 树 $T$ 中任意一个节点 $u$ ，如果有一个子节点 $v$ ，满足 $v$ 的子树（含 $v$ ）没有一条边可以连到 $u$ 的祖先（包括 $u$ ），那么 $(u, v)$ 就是割边。

其实和上面的证明差不多，就是 $u$ 的情况变了，那么用 dfn 和 low 刻画就是 $low(v) > dfn(u)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
struct piar {
	int x, y;
} Q[MAXN + 10];
int cnt = 0;
bool cmp(piar &a, piar &b) {
	if(a.x != b.x) return a.x < b.x;
	else return a.y < b.y;
}

vector <int> gra[MAXN + 10];
int dfn[MAXN + 10], low[MAXN + 10], DFN = 0;
void dfs(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++DFN;
	for(int p = 0; p < gra[u].size(); p++) {
		int v = gra[u][p];
		if(!dfn[v]) {
			dfs(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(low[v] > dfn[u]) {
				Q[++cnt].x = min(u, v);
				Q[cnt].y = max(u, v);
			}
		}
		else if(v != fa) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
}

void init() {
	int n, m; cin >> n >> m;
	for(int p = 1, x, y; p <= m; p++) {
		cin >> x >> y;
		gra[x].push_back(y);
		gra[y].push_back(x);
	}
	for(int p = 1; p <= n; p++)
		if(!dfn[p])
			dfs(p, p);
	sort(Q + 1, Q + cnt + 1, cmp);
	for(int p = 1; p <= cnt; p++)
		cout << Q[p].x << ' ' << Q[p].y << endl;
}
int main() {
	init();
}

2. 点双和边双

对于一个无向图，如果它没有个点，就叫点双连通图，如果没有割边，就叫边双连通图。

对于一个无向图，它的极大点双连通子图叫点双连通分量，简写为 v-DCC，简称为点双，极大边双连通子图叫边双连通分量，简写为 e-DCC。

点双性质：

定理：如果一张图是点双连通图，那么它一定满足下面的其中一条

节点数不超过两个

任意两个点都在一个简单环中。

证明：
1 显然成立。下面我们证明 2
还记得割点的判定法则吗：当一个非根节点 $u$ ，如果满足有一个儿子 $v$ ， $v$ 及其子树无法通过一条边走到 $u$ 的祖先（不包括 $u$ ），那么 $u$ 是割点。反过来，如果 $u$ 满足所有的儿子都能通过一条边走到 $u$ 的祖先（不包括 $u$ ），那么 $u$ 就不是割点。对于根节点，有两个以上儿子就是割点，所以对于一个 v-DCC 根节点只有一个儿子。
我们就可以这样画一个图。 $v1,v2$ 是 $u$ 的儿子，当然 $u$ 可能有很多儿子。对于 $v$ 的子树，所有的点都可以通过一条边走到 $u$ 的祖先。下面我们令 $rt$ 为根， $u$ 是根唯一的一个儿子。
（我个人感觉画出来图了就很显然了）我们只需要讨论四类点： $rt$ ， $u$ ， $v1$ 及其子树里面的点，记为 $x$ ， $v2$ 及其子树里面的点，记为 $y$ 。
看上去我们要讨论很多，但实际上并不是。对于 $rt$ 很显然满足， $u$ 也一样。
那么 $x, y$ 呢？也很容易，环是 $x-v1-u-v2-y-rt-x$ ，这样就能有环了！
如果在一个子树里面有 $x, x'$ ，那么就有 $x-rt-x'-v1-x$ ，也有环。
综上所述，证毕