KMP

烤馍片是一种算法，这种算法我忘了就学，学了就忘，所以这里再写一遍加深印象（

KMP 这个东西呢它可以在 $O(n+m)$ 的时间复杂度内完成字符串的匹配，虽然但是我用字符串哈希我做匹配不也一个道理吗？KMP 可以与处理出来一个叫 $fail$ 的数组（也可以叫 $next$ ），可以完成很多很厉害的东西。

下面我们先来了解一下 $fail$ 是干嘛的：定义函数 $\operatorname{fail}(i)$ 为字符串长度为 $i$ 的前缀的最长的与字符串本身不同的后缀与前缀相同的长度。这样说好像不太容易理解也不太严谨，我们炒个例子罢，比如字符串
s: a b a b a b c
$\operatorname{fail}(5) = 3$ ，什么意思嘞，就是说 a b a b a 中，前三个 a b a 和后三个 a b a 是一样的。那么对于 $\operatorname{fail}(2)$ 呢？是 $0$ 。

$\operatorname{fail}$ 可以这样求：首先 $\operatorname{fail}(1) = 0$ ，显然易见，下面我们假设已经求出来了 $\operatorname{fail}(1\sim i - 1)$ ，考虑到了 $s_i$ ，我们充分利用一下之前得到的信息：

蓝色部分代表相同的，根据定义，左边的红色部分代表 $str_{\operatorname{fail}(i - 1) + 1}$ 右边的红的代表 $str_i$ ，如果 $str_i = str_{\operatorname{fail}(i - 1) + 1}$ （两个红的相等），是不是就说明一点： $fail_i = fail_{i - 1} + 1$ ？

那万一它们不相同呢？那我们退而求其次，像这样

如果两个橙色的相等（ $str_{\operatorname{fail}(\operatorname{fail}(i - 1)) + 1} = str_{i + 1}$ ），那么 $fail_i = \operatorname{fail}(\operatorname{fail}(i - 1)) + 1$ 。推广开来我们可以这样搞：对于求 $fail_i$ ，定义一个指针 $j$ ， $j$ 一开始等于 $j - 1$ 。如果 $str_{\operatorname{j} + 1} = str_i$ ，说明这个行， $\operatorname{fail}(i) = \operatorname{fail}(j)+1$ 。否则 $j = \operatorname{fail}(j)$ 。原因的话相信看看图就不难理解了 qwq

求出来了 $\operatorname{fail}$ ，它有什么用呢？它可以搞字符串匹配。以这道题模板题 link 为例。我们先求出来了 $s2$ 的 $\operatorname{fail}$ 。我们来手玩一个小样例

ABADBC
ABAC

首先它们登登登匹配到第三位，到了第四位发现 D 和 C 不一样，那么怎么办，从头再来？我们发现我们知道了 $s1$ 前三位是 ABA， $s2$ 的前三位也是 ABA，我们肯定不会这样匹配

ABA
 ABA

因为这肯定不行，聪明的我们会想到这样匹配

ABA
  ABA

深究一下其中的原因，因为这个 A 既是 ABA 的后缀，也是 ABA 的前缀……等等， $\operatorname{fail}$ ？这个相信是不难领会的，还可以举个例子

ABABAD
ABABAB

匹配到第五位失配了，但是 $s1$ 前五位和 $s2$ 前五位都是 ABABA，我们光来匹配这几个已知的，我们当然不会这样匹配

ABABA
 ABABA

而是

ABABA
  ABABA

因为这样肯定能匹配上一点。我们一定会从 $\operatorname{fail}$ 开始，这相当于 $\operatorname{fail}$ 前面都匹配过了。我们也容易理解为啥 $\operatorname{fail}$ 要取最大——不取最大的话可能会漏。

这个算法就出来了：如果 $i$ 是指向 $s1$ 的， $j$ 是指向 $s2$ 的，前 $i - 1$ 位与第 $j$ 位匹配，现在我们考虑第 $i$ 位与第 $j + 1$ 位。如果能匹配就匹配，不能匹配那么让 $j = \operatorname{fail}(j)$ ，如果 $str_{i} = str_{j + 1}$ ，那么就匹配成功，否则就再让 $j = \operatorname{fail}(j)$ 以此类推。

代码

//SIXIANG
#include <iostream> 
#include <string>
#define MAXN 1000000
#define QWQ cout << "QWQ" << endl;
using namespace std;
int fail[MAXN + 10];
void init() {
	string s1, s2;
	cin >> s1 >> s2;
	s1 = " " + s1, s2 = " " + s2;
	
	fail[1] = 0;
	for(int p = 2; p < s2.size(); p++) {
		int i = fail[p - 1];
		while(s2[i + 1] != s2[p] && i) i = fail[i];
		if(s2[i + 1] == s2[p]) fail[p] = i + 1;
		else fail[p] = i;
	}
	
	int i = 0, end = s2.size() - 1;
	for(int p = 1; p < s1.size(); p++) {
		while(s2[i + 1] != s1[p] && i) i = fail[i];
		if(s2[i + 1] == s1[p])
			i++;
		if(i == end) cout << p - end + 1 << endl;
	}
	for(int p = 1; p < s2.size(); p++)
		cout << fail[p] << ' ';
} 
int main() {
	init();
}