字符串哈希

概念

这个东西很简单，字符串哈希是什么捏？和数字的哈希一样，字符串哈希就是把每一个字符串映射到一个数上去。具体来说，我们可以把一个字符串看成一个大进制数，比如 abc 我们就可以把它看成一个 $26$ 进制的数字，那么这个数字就是 $1 \times 26^2 + 2 \times 26 + 3$ 。当然有的时候这个数字会很大，一般来说，我们会让它对一个大质数取余。所以我们就可以这样定义一个字符串的哈希函数 $\operatorname{hash}(str) = (\sum\limits_{i = 0}^n \operatorname{id}(str_i) \times base^{n-i}) \bmod Mod$ 。函数 $\operatorname{id}(str_i)$ 就是 $str_i$ 的编号，比如说你可以认为 a 的编号是 $1$ 那么 $\operatorname{id}(\texttt{a}) = 1$ 。 $base$ 是我们取的进制，一般取字符集大小，比如说小写字母就取 $base = 26$ ，小写大写在一起就 $base = 52$ 。但是有的时候所有字符都在一起，如果你很懒，你也可以直接让 $base = 137$ 。 $Mod$ 是一个相当大的质数。

这里有点需要注意： $\operatorname{id}$ 函数不能有 $0$ 的值！为什么呢？举个例子，如果我们让 $\operatorname{id}(\texttt{a}) = 0, \operatorname{id}(\texttt{b}) = 1$ ，那么 $\texttt{ab}$ 与 $\texttt{b}$ 的哈希值就一样了。在这里 $\operatorname{id} = 0$ 代表这一位是空的。

如果两个字符串的哈希值相同，我们也可以认为他们相同，但是很明显，这是有概率出错的。 $Mod$ 取大素数可以降低出错的概率，因为这个时候我们可以认为哈希值在 $0\sim Mod-1$ 里均匀分布，所以冲突概率就是 $\dfrac{1}{Mod - 1}$ 。如果 $Mod$ 不是质数就没有均匀分布了，概率就不能这么算了。一般来讲哈希值用 long long 存， $Mod$ 可以取成 $1e9 + 7$ 或是 $998244353$ 。但是这个时候还有可能会冲突，所以我们可以搞两个模数，做算两次哈希，如果两次都一样，我们就可以认为这两个字符串一样。

有的时候我们不方便使用双模数，这个时候我们就可以用伟大的 __int128 弄个 1e18 级别的质数（比如 100000007998244353）

取子串哈希值

光是这样哈希看上去没有啥大用的样子，实际上如果我们算出来一个串的哈希值，我们也可以把它每一个前缀的哈希值给算出来，这很容易，我们记 $f_i$ 为到第 $i$ 个字符的哈希值， $f_i = (f_{i - 1} \times base + \operatorname{id}(str_i))\bmod Mod = (\sum\limits_{j = 0}^{i} \operatorname{id}(str_j)\times base^{i - j})$ 。很容易理解。

那么如何取一个子串的哈希值呢？我们记这个子串是 $str_{l\sim r}$ ，它的哈希值就应该是 $(\sum\limits_{i =l}^{r} \operatorname{id}(str_i))\bmod Mod \times base^{r - i} = ((f_{r} - f_{l - 1}\times base^{r - l + 1}) \bmod Mod + Mod)) \bmod Mod$ ，注意这里面 $f_r - f_{l - 1}\times base^{r - l + 1}$ 可能是负数。