RE：从 0 开始的幼儿园数论生活

你猜为什么我数学那么差？

1. 从欧几里得算法到扩展欧几里得算法

我们一般用欧几里得算法求最大公约数，它差不多就这样

$\gcd(m, n) = \begin{cases}n&m = 0\\\gcd(n, m \bmod n) & (m \not = 0)\end{cases}$

扩欧可以用来求这个： $ax + by = \gcd(a, b)$ 的正整数解 $x, y$ 。我们用欧几里得算法来迭代求解，我们得出来的解满足 $|x|+|y|$ 最小。

当 $b = 0$ 时， $\gcd(a, b) = a$ ，因此 $x = 1, y = 0$ ，其实 $y$ 可以是任意一个数字（因为 $b = 0$ ），但是由于我们要求的是 $|x|+|y|$ 最小的解，所以 $y = 0$ 。

接下来假设我们已经求出来了 $bx+ (a\bmod b)y = \gcd(a, b)$ ，从这一步再求 $ax'+by' = \gcd(a, b)$ 的解（相当于递归回来做）， $a\bmod b = a - \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor b$ ，所以就有
$bx+(a\bmod b)y = bx+(a - \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor b)y = ay + b(x - \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y)$ ，也就是说 $x' = y, y' = x - \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y$ 。

这个玩意儿叫 exgcd

2. 二元一次方程的通解

也就是求 $ax + by = c$ 这样的方程，通过上面的讨论我们知道只有 $\gcd(a, b)|c$ 这样的方程才有整数解，为了方便叙述下面记 $d = \gcd(a, b)$ 。

首先用 exgcd 求出 $ax' + by' = d$ 的一对解 $x', y'$ ，然后容易得到原方程 $ax+by = c$ 的通解形式是 $\begin{cases}x = x'\dfrac{c}{d}+k\dfrac{b}{d}\\ y = y'\dfrac{c}{d} - k\dfrac{a}{d} \end{cases}$ 。记 $\dfrac{c}{d} = g$ ，那么 $\begin{cases}x = x'g+k\dfrac{b}{d}\\ y = y'g-k\dfrac{a}{d}\end{cases}$ 这样写就好看很多了（雾）

下面让我们来做这道题吧。

Task1 正整数解数量

就是求 $\begin{cases}x'g+k\dfrac{b}{d}\ge 1 \\ y'g - k\dfrac{a}{d} \ge 1\end{cases}$ 这个不等式组的整数解数量。不难解出来是 $\dfrac{(1-xg)d}{b}\le k \le \dfrac{(yg - 1)d}{a}$ 。由于是整数，所以左边套上向上取整，右边套上向下取整，就得到了 $\lceil\dfrac{(1-xg)d}{b}\rceil\le k \le \lfloor\dfrac{(yg - 1)d}{a}\rfloor$ 。知道取值范围这个就好做了！

Task2 求最大最小解

不难想到 $x$ 越大 $y$ 越小，反之亦然，所以 $k = \lceil\dfrac{(1-xg)d}{b}\rceil$ 时 $x$ 最小 $y$ 最大， $k = \lfloor\dfrac{(yg - 1)d}{a}\rfloor$ 时 $x$ 最大 $y$ 最小。

喜闻乐见的代码

//SIXIANG
#include <iostream>
#include <cmath>
#define MAXN 100000
#define int long long
#define QWQ cout << "QWQ" << endl;
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {x = 1, y = 0; return a;}
	else {
		int rest = exgcd(b, a % b, x, y);
		int tmp = x; x = y, y = tmp - a / b * y;
		return rest;
	}
} 
signed main() {
	int T, a, b, c; cin >> T;
	while(T--) {
		cin >> a >> b >> c;
		
		int x, y, d = exgcd(a, b, x, y);
		if(c % d != 0) {
			cout << -1 << endl;
			continue;
		}
		int g = c / d;
		int L = ceil((double)(1.0 - x * g) * d / (double)(b)), R = floor((double)(y * g - 1.0) * d / (double)(a));
		if(L > R)
			cout << x * g + L * b / d << ' ' << y * g - R * a / d << endl;
		else {
			cout << (R - L + 1) << ' ' << x * g + L * b / d << ' ' << y * g - R * a / d << ' ' << x * g + R * b / d<< ' ' << y * g - L * a / d<< endl;
		}
	}
}

3. 同余与一些关于它的定义

同余就是 $a\equiv b\pmod m$ ，它们表示 $a$ 与 $b$ 除以 $m$ 的余数相同，炒个例子， $6$ 与 $1$ 关于 $5$ 同余，就可以写成 $6\equiv 1 \pmod 5$ 。

如果 $a\equiv b \pmod m$ ，那么 $(a+c)\equiv (b+c)\pmod m\\ ac\equiv bc\pmod m$ 。

同余有如下性质： $(a+b)\equiv (a\bmod m+b\bmod m)\pmod m\\(a-b)\equiv (a\bmod m - b\bmod m)\pmod m\\(a\times b)\equiv (a\bmod m \times b \bmod m) \pmod m$

除法就没有这样的性质了。我们要单独讨论它，方法是求逆元，还要用上别的知识，一般用 exgcd/费马小定理求逆元，还有线性的方法（不过好像用得不多？）

剩余系：模 $n$ 的完全剩余系是一个集合 $Z_n$ ，这个集合是 $Z_n =\{0, 1, 2, 3, \dots, n - 1\}$ 。这里面的元素不是普通的元素，这里面的每个数代表所有与它同余的整数。举个例子， $Z_7$ ，这里面的 $6$ 元素代表的是 $6, 13, 20\dots$ 。

简化剩余系（也叫缩系）：将 $Z_n$ 里面只保留与 $n$ 互质的数，记为 $Z_n'$ （可能不是很规范 qwq）比如 $Z_8' = \{1, 3, 5, 7\}$

由于它们两个非常的与众不同，所以它们的运算也很与众不同，比如 $Z_5$ 中 $3+4 = 2((3+4)\equiv 2 \pmod 5), 3\times 5 = 0((3*5)\equiv 0 \pmod 5)$ 。

特别的，在简化剩余系里面乘法封闭，意思就是说这里面做乘法的结果还在原来的集合里面，比如 $Z_8'$ 里面 $3\times 5 = 7$ 本来就在里面。这个很好证明，如果 $a$ 与 $n$ 互质， $b$ 与 $n$ 互质，那么 $ab$ 与 $n$ 互质。 $\gcd(ab, n) = 1$ ，根据欧几里得算法所以也有 $\gcd(ab, n) = \gcd(n, ab\bmod n) = 1$ 。

4. 欧拉函数的定义

先写一个定义 qwq

请不要认为懂了欧拉函数的定义就啥都明白了，欧拉函数的精髓并不在于它的定义和公式，这里提及完全是为了证欧拉定理费马小定理算逆元（

欧拉函数 $\varphi(n)$ 定义为 $1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数个数。比如 $\varphi(5) = 4$ 。

我们记 $n$ 的质因数分别为 $p_1, p_2, \dots, p_k$ ， $\varphi(n) = n(1 - \dfrac{1}{p_1})(1 - \dfrac{1}{p_2})\dots(1 - \dfrac{1}{p_k})$ 。

证明吗？展开式子，然后就会发现这玩意儿实际上是个容斥，乱搞就能整出来。

这样就可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间复杂度内求出单个 $\varphi(n)$

5. 欧拉定理和费马小定理

其实欧拉函数不应该放在这么前面写的，放在这么前面是为了写一写欧拉定理和费马小定理。

先介绍欧拉定理： $a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m$ ，其中 $a, m$ 互质。

记得当时看这个的证明一脸懵逼，现在看上去还是很简单的 23333

证明：对于 $m$ 的简化剩余系 $Z_n' = \{x_1, x_2, \dots, x_{\varphi(m)}\}$ ，每个元素同乘一个 $a$ 得到 $aZ_n' = \{ax_1, ax_2, \dots, ax_{\varphi(m)}\}$ 。

由于 $a$ 与 $m$ 互质，所以从简化剩余系的角度来看，这两个集合是等价的，所以我们容易得到 $\prod\limits_{i = 1}^{\varphi(m)}x_i \equiv \prod\limits_{i = 1}^{\varphi(m)}ax_i\pmod m$ ，也就是 $\prod\limits_{i = 1}^{\varphi(m)}x_i \equiv \prod\limits_{i = 1}^{\varphi(m)}x_i a^{\varphi(m)}\pmod m$ ，所以 $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m$ 。

感觉这个的证明相当优美啊 qwq！

费马小定理： $a^{p - 1}\equiv 1 \pmod p$ ， $p$ 是质数。

众所周知如果 $p$ 是质数那么 $\varphi(p) = p - 1$ 。所以其实费马小定理就是欧拉定理的一个推论。

费马小定理用途很广，不仅可以用来做同余，最常见的用途是用来求逆元。

6. 逆元

有的时候我们需要求 $\dfrac{a}{b}\bmod m$ 的结果，这个时候就不能用常规的方法做了。

逆元可以做这个东西，找到一个 $x$ ，使得 $\dfrac{a}{b} \equiv x\pmod m$ 。

顺带提一嘴，这里的 $a, b$ 都是剩余系意义下的，比如说 $\dfrac{3}{7} \bmod 5$ ，你会说诶诶诶这压根不是整数它怎么取余~~再这样下去得输越南~~，但是实际上这里的 $3$ 是一个除以 $5$ 余 $3$ 的数， $7$ 同理，这个时候就能整除了。

其实，我们只需要求出一个 $\dfrac{1}{b} \equiv x\pmod m$ 的 $x$ ，那么 $\dfrac{a}{b}$ 就是两边同乘 $a$ 的结果，这个 $x$ 就叫做 $b$ 在模 $m$ 意义下的逆元，记作 $b^{-1}$ 。 $a / b$ 就是 $a\times b^{-1}$ 。

它怎么求？

exgcd
转化一下 $xb\equiv 1 \pmod m$ ，线性同余方程组，那 exgcd 随便跑。有解情况是 $b, m$ 互质。这是一个线性同余方程，具体解法下面会提及。
费马小定理
只适用于 $m$ 为质数，由于 $a^{p - 1}\equiv 1\pmod m$ ，所以 $a\times a^{p - 2}\equiv 1 \pmod m$ 。所以 $a^{-1} = a^{p - 2}$ 。
线性递推。
这个就很高级，虽然我觉得它似乎没什么用，因为 OI 里面我们都知道 $O(n)$ $O(n\log_2 n)$ 众生平等（划掉
但是学一手以防万一对吧（）
众所周知， $1^{-1} = 1$ 。我们记 $ki+r = m$ ，那么就有
$ki+r \equiv 0 \pmod m$ 。两边同乘 $i^{-1}$ 得到
即，即 $i^{-1}\equiv -\lfloor\dfrac{p}{i}\rfloor (p\bmod i)^{-1}\pmod m$

有了逆元我们就可以做模意义下的除法辣✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

7. 线性同余方程

$ax\equiv b\pmod m$ ，形如这样的关于 $x$ 的方程。

脑子告诉我们它等价于这样一个式子 $ax - km = b$ ，拿 exgcd 一跑就行了.

8. 线性同余方程组，模数互质（CRT）

这就是我们幼儿园学习过的韩信点兵问题，但是当时没有学一个一般化（雾）的解法。

它是用来解形如 $\begin{cases}x \equiv r_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv r_2\pmod {m_2} \\ \dots \\ x \equiv r_n \pmod {m_n}\end{cases}$ 。其中 $m_1\sim m_n$ 两两互质。

我们记 $M = \prod\limits_{i = 1}^n m_1，v_i = (\dfrac{M}{m_i})^{-1}(模 m_i 意义下的)$ ，通解形式是 $ans = \sum\limits_{i = 1}^n \dfrac{M}{m_i}v_ir_i + kM$ ，最小解是 $ans = \sum\limits_{i = 1}^n \dfrac{M}{m_i}v_ir_i \bmod M$ 。

证明如下：先指针对一个同余方程 $x\equiv r_i \pmod {m_i}$ 看，计算它的贡献，为了消去 $x$ 对其它方程组的影响，我们先给它乘上一个 $\dfrac{M}{m_i}$ 。由于我们答案是求和的，这样做它对其它方程组取余的结果就为 $0$ ，不会影响答案。

我们令 $x'\dfrac{M}{m_i}\equiv r_i \pmod {m_i}$ ，移项得到 $x' \equiv \dfrac{r_im_i}{M}\pmod {m_i}$ ，也就是 $x' \equiv r_i\times (\dfrac{M}{m_i})^{-1}\pmod {m_i}$ ，这里对答案的贡献就是 $\dfrac{M}{m_i}v_ir_i$ 。

CRT 这样的“乘一个倍数消去贡献”的方法很好用，很多题都能用的上，同时对于许多模数有严格限制（比如 NTT）这样的算法，我们可以先拿两个大质数算出解，构造个同余方程组，然后对于新模数再计算，这样常数固然会比较大，但是相对于 MTT（显而易见我没学过它）好理解十倍甚至九倍（划掉

逆元拿 exgcd 算，代码都是老早之前写的，明天重写一份贴上来 qwq

9. 线性同余方程组，模数不一定互质（exCRT）

它还是用来解 $\begin{cases}x \equiv r_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv r_2\pmod {m_2} \\ \dots \\ x \equiv r_n \pmod {m_n}\end{cases}$ 这样的同余方程组，但不同的是这时候 $m_1, m_2, \dots, m_n$ 不一定两两互质。

exCRT 其实和 CRT 真的什么关系都没有了，它的思想是合并同余方程。假设我们已经求出来前 $k - 1$ 个方程的一个解 $x'$ ，下面我们希望 $x$ 能够写成 $x' + a$ 的形式，使得 $x \equiv r_k \pmod {m_k}$ 。

和 CRT 一样，为了不让我们加上的数字对前面的方程产生影响，我们选择加上一个 $\operatorname{lcm}(m_1, m_2, m_3, \dots, m_{k - 1})$ 的倍数，记 $M = \operatorname{lcm}(m_1, m_2, m_3, \dots, m_{k - 1})$ ，那么我们就可以把我们要构造出来的 $x$ 写成 $x'+tM$ 的形式。此时 $x'+tM\equiv r_k\pmod {m_{k}}$ 。移项得到 $tM \equiv r_k - x'\pmod {m_k}$ 。用 exgcd 解出来这个线性同余方程，我们就可以得到一个 $t$ ，最后 $x = x' + tM$ 。

根据数学归纳法，发现了没有：我们解出来了！

代码也明天填坑 qwq

10. 离散对数（底数和模数互质，BSGS）

BSGS 用来求这样的方程 $a^x \equiv b \pmod m$ 的解，其中 $a, m$ 互质。

根据欧拉定理，我们知道 $a^{\varphi(m) - 1}\equiv 1 \pmod m$ ，同时很显然然 $a^0\equiv 1 \pmod m$ 。 $\varphi(m) < m$ ，也就是说暴力的话只要枚举 $x$ 在 $1\sim m$ 范围内就好了。

当然咯，这样太慢了，有一种很神奇的做法，叫 BSGS（Shank's Baby-Step-Giant-Step），大步小步，它的名字很形象生动。首先我们选定一个 $k$ 先暴力计算出来 $a^i\bmod m$ 的值，其中 $1\le i \le k$ 。我们记 $v_i = a^i \bmod m$ 。

对于 $i > k$ ，那么我们就把 $a^i\equiv b\pmod m$ 写成一个 $a^{j}\times a^{tk}\equiv b \pmod m(j < k)$ ，移项得到 $a^j\equiv b \times a^{-tk} \pmod m$ 。 $a^j \bmod m$ 的结果我们已经算过了，只需要用一个哈希表存着就行了， $a^{tk}$ 的逆元每次迭代完算。