同余&逆元&不定方程

这篇文章主要介绍同余&逆元&不定方程及代码实现

由于本人比较菜，所以一些定理不予证明

同余的概念

同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)
【定义】设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。显然易得如下：

1.若a≡0(mod m)，则m|a;
2.a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
充要性证明
充分性：
若a和b用m相除留下相同的余数r，则 a=q1m+r, b=q2m+r,q1和q2为某两个整数，由此的a-b=(q1m+r)-(q2m-r)=m(q1-q2)，根据整除定义，我们有m|(a-b)，由同余式定义得出结论：a≡b(mod m)
必要性：
若a和b用m相除留下相同的余数r，则 a=q1m+r,b=q2m+r,所以a-b=m(q1-q2) 故 m|(a-b)。
同余性质
反身性：a≡a (mod m)

对称性： 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)

传递性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)

同余式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a ± c≡b ± d(mod m)

同余式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则ac≡bd(mod m)

线性运算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a ± c≡b ± d(mod m)，且a * c≡b * d(mod m)

除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)

幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)

若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数

逆元&不定方程

逆元

每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod b) ， 一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,b)=1，此时逆元唯一存在 。
【含义】模b意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
【定义】正整数 a, b，如果有 ax ≡ 1(mod b)，则称 x 的最小正整数解为 a 模 b的逆元

不定方程

【定义】形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程
不定方程有整数解的条件
整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。
反之，如果if(c%gcd(a,b)) 则 无解

逆元&不定方程解法

扩展欧几里得算法求不定方程

引：裴蜀定理

设a, b是不全为零的整数，则存在整数x, y 使得 ax + by = gcd(a, b)

我们都知道，欧几里得公式可以由这个式子表达
gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
通过这个式子，我们可以不断递推到b = 0， 此时a即为a和b的最大公约数
将式子展开得到如下
1.gcd(a, b) = a * x1 + b * x1
2.gcd(b, a % b) = b * x2 + (a % b) * y2
由欧几里得公式可得到
a * x1+b * x1=b * x2 + (a % b) * y2
其中 a % b = a - (a / b) * b
得 a * x1 + b * y1 = b * x2 + [a - (a / b) * b]y2
化简得 a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * [x2 - (a / b) * y2]
由待定系数法得：
1.x1 = y2
2.y1 = x2 - (a / b) * y2
以上即扩展欧几里得算法
也就是说有了gcd(b, a % b)的解x2, y2就可以推出gcd(a, b)的解x1, y1
我们可以用类似求gcd的方法求解，一直推到x=1,y=0(递归边界)，然后回溯即可求出特解

通过特解求出最小整数解&通解

设特解分别为x0,y0
则最小解为：
x0=x0%(b/gcd(a,b))
则通解为：
x=x0+k*b/gcd(a,b)
y=y0-k*a/gcd(a,b)
又因为方程建立在gcd基础上，方程左边为gcd而非c，所以答案需在上面的基础上乘上
c/gcd(a,b)
所以最小解为
x0=(x0*c/gcd(a,b))%(b/gcd)

易知逆元为特殊的不定方程，ax≡1(mod b) 等价于ax-by=1
所以同样可以用扩展欧几里得算法求解

代码实现

扩展欧几里得算法的三大应用

求不定方程ax+by=c的最小正整数解

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}//x即为特解;
int mod=b/(gcd(a,b));
ans=(x*(c/gcd(a,b))%mod+mod)%mod;
//小技巧，+mod后%mod可以防止出现负解;

求方程ax≡1(mod b) 的最小正整数解(a的逆元)

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}//x即为特解;
//已知gcd(a,b)=1,则mod=b/gcd(a,b)=b;
//同理，c/gcd(a,b)=1/1=1;
ans=(x%b+b)%b//求出最小整数解&防止出现负解;

求模线性方程ax≡b (mod n)

对于模线性方程ax≡b (mod n)可以化简为ax+ny=b设d=gcd(a,n)
则当且仅当b%d==0时方程有解，且有d个解
等式两边同时乘以b/d，则方程变为axb/d+nyb/d=b
设ax+ny=d特解为x‘,y’
则原方程解为x=x‘ * b/d，y=y’ * b/d
故ax≡b (mod n)特解为x0=x' * (b/d)%n
d个解为xi=x0+i*(n/d)%n (i=0,1,...,n-1)
解的间隔为n/d

void exgcd(int a,int b,int &gcd,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		gcd=a;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}
bool check_find(int a,int b,int n){
	int x,y,x0,gcd;
	exgcd(a,b,gcd,x,y);
	int d=gcd;
	if(b%d) return false;
	x0=x*(b/d)%n;//特解
	for(int i=0,i<d;i++) printf("%d\n",x0+i*(n/d));
	return true;
}