LSTM模型与前向反向传播算法

LSTM模型与前向反向传播算法

 

　　　　在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。

1. 从RNN到LSTM

　　　　在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态h(t)h(t)。

　　　　如果我们略去每层都有的o(t),L(t),y(t)o(t),L(t),y(t)，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

　　　　图中可以很清晰看出在隐藏状态h(t)h(t)由x(t)x(t)和h(t−1)h(t−1)得到。得到h(t)h(t)后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的h(t+1)h(t+1)。

　　　　由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

　　　　可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。

 2. LSTM模型结构剖析

　　　　上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

　　　　从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态h(t)h(t)，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为C(t)C(t)。如下图所示：

　　　　除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

 2.1 LSTM之遗忘门

　　　　遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

　　　　图中输入的有上一序列的隐藏状态h(t−1)h(t−1)和本序列数据x(t)x(t)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出f(t)f(t)。由于sigmoid的输出f(t)f(t)在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：

f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)

 

　　　　其中Wf,Uf,bfWf,Uf,bf为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σσ为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

　　　　输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

　　　　从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为i(t)i(t),第二部分使用了tanh激活函数，输出为a(t)a(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：

i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi)i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi)

a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)

 

　　　　其中Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σσ为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

　　　　在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态C(t)C(t)。我们来看看从细胞状态C(t−1)C(t−1)如何得到C(t)C(t)。如下图所示：

　　　　细胞状态C(t)C(t)由两部分组成，第一部分是C(t−1)C(t−1)和遗忘门输出f(t)f(t)的乘积，第二部分是输入门的i(t)i(t)和a(t)a(t)的乘积，即：

C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)

 

　　　　其中，⊙⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

　　　　有了新的隐藏细胞状态C(t)C(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

　　　　从图中可以看出，隐藏状态h(t)h(t)的更新由两部分组成，第一部分是o(t)o(t), 它由上一序列的隐藏状态h(t−1)h(t−1)和本序列数据x(t)x(t)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态C(t)C(t)和tanh激活函数组成, 即：

o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo)o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo)

h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))

 

　　　　通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

　　　　现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态h(t),C(t)h(t),C(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,boWf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo这些参数。

　　　　前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

　　　　1）更新遗忘门输出：

f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)f(t)=σ(Wfh(t−1)+Ufx(t)+bf)

 

　　　　2）更新输入门两部分输出：

i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi)i(t)=σ(Wih(t−1)+Uix(t)+bi)

a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)a(t)=tanh(Wah(t−1)+Uax(t)+ba)

 

　　　　3）更新细胞状态：

C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)

 

　　　　4）更新输出门输出：

o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo)o(t)=σ(Woh(t−1)+Uox(t)+bo)

h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))

 

　　　　5）更新当前序列索引预测输出：

y^(t)=σ(Vh(t)+c)y^(t)=σ(Vh(t)+c)

 

4.  LSTM反向传播算法推导关键点

　　　　有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

　　　　在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态h(t)h(t)的梯度δ(t)δ(t)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态h(t)h(t)和C(t)C(t)。这里我们定义两个δδ，即：

δ(t)h=∂L∂h(t)δh(t)=∂L∂h(t)

δ(t)C=∂L∂C(t)δC(t)=∂L∂C(t)

 

　　　　为了便于推导，我们将损失函数L(t)L(t)分成两块，一块是时刻tt位置的损失l(t)l(t)，另一块是时刻tt之后损失L(t+1)L(t+1)，即：

L(t)={l(t)+L(t+1)l(t)ift<τift=τL(t)={l(t)+L(t+1)ift<τl(t)ift=τ

　　　　

 

　　　　而在最后的序列索引位置ττ的δ(τ)hδh(τ)和 δ(τ)CδC(τ)为：

δ(τ)h=(∂O(τ)∂h(τ))T∂L(τ)∂O(τ)=VT(y^(τ)−y(τ))δh(τ)=(∂O(τ)∂h(τ))T∂L(τ)∂O(τ)=VT(y^(τ)−y(τ))

δ(τ)C=(∂h(τ)∂C(τ))T∂L(τ)∂h(τ)=δ(τ)h⊙o(τ)⊙(1−tanh2(C(τ)))δC(τ)=(∂h(τ)∂C(τ))T∂L(τ)∂h(τ)=δh(τ)⊙o(τ)⊙(1−tanh2(C(τ)))

 

　　　　接着我们由δ(t+1)C,δ(t+1)hδC(t+1),δh(t+1)反向推导δ(t)h,δ(t)Cδh(t),δC(t)。

　　　　δ(t)hδh(t)的梯度由本层t时刻的输出梯度误差和大于t时刻的误差两部分决定，即：

δ(t)h=∂L∂h(t)=∂l(t)∂h(t)+(∂h(t+1)∂h(t))T∂L(t+1)∂h(t+1)=VT(y^(t)−y(t))+(∂h(t+1)∂h(t))Tδ(t+1)hδh(t)=∂L∂h(t)=∂l(t)∂h(t)+(∂h(t+1)∂h(t))T∂L(t+1)∂h(t+1)=VT(y^(t)−y(t))+(∂h(t+1)∂h(t))Tδh(t+1)

 

　　　　整个LSTM反向传播的难点就在于∂h(t+1)∂h(t)∂h(t+1)∂h(t)这部分的计算。仔细观察，由于h(t)=o(t)⊙tanh(C(t))h(t)=o(t)⊙tanh(C(t)), 在第一项o(t)o(t)中，包含一个hh的递推关系，第二项tanh(C(t))tanh(C(t))就复杂了，tanhtanh函数里面又可以表示成：

C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)C(t)=C(t−1)⊙f(t)+i(t)⊙a(t)

 

　　　　tanhtanh函数的第一项中，f(t)f(t)包含一个hh的递推关系，在tanhtanh函数的第二项中，i(t)i(t)和a(t)a(t)都包含hh的递推关系，因此，最终∂h(t+1)∂h(t)∂h(t+1)∂h(t)这部分的计算结果由四部分组成。即：

 

ΔC=o(t+1)⊙[1−tanh2(C(t+1))]ΔC=o(t+1)⊙[1−tanh2(C(t+1))]

 

 

∂h(t+1)∂h(t)=diag[o(t+1)⊙(1−o(t+1))⊙tanh(C(t+1))]Wo+diag[ΔC⊙f(t+1)⊙(1−f(t+1))⊙C(t)]Wf+diag{ΔC⊙i(t+1)⊙[1−(a(t+1))2]}Wa+diag[ΔC⊙a(t+1)⊙i(t+1)⊙(1−i(t+1))]Wi∂h(t+1)∂h(t)=diag[o(t+1)⊙(1−o(t+1))⊙tanh(C(t+1))]Wo+diag[ΔC⊙f(t+1)⊙(1−f(t+1))⊙C(t)]Wf+diag{ΔC⊙i(t+1)⊙[1−(a(t+1))2]}Wa+diag[ΔC⊙a(t+1)⊙i(t+1)⊙(1−i(t+1))]Wi

 

　　　　而δ(t)CδC(t)的反向梯度误差由前一层δ(t+1)CδC(t+1)的梯度误差和本层的从h(t)h(t)传回来的梯度误差两部分组成，即：

δ(t)C=(∂C(t+1)∂C(t))T∂L∂C(t+1)+(∂h(t)∂C(t))T∂L∂h(t)=(∂C(t+1)∂C(t))Tδ(t+1)C+δ(t)h⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t)))=δ(t+1)C⊙f(t+1)+δ(t)h⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t)))δC(t)=(∂C(t+1)∂C(t))T∂L∂C(t+1)+(∂h(t)∂C(t))T∂L∂h(t)=(∂C(t+1)∂C(t))TδC(t+1)+δh(t)⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t)))=δC(t+1)⊙f(t+1)+δh(t)⊙o(t)⊙(1−tanh2(C(t)))

 

　　　　有了δ(t)hδh(t)和δ(t)CδC(t)， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出WfWf的梯度计算过程，其他的Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,cUf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。

∂L∂Wf=∑t=1τ[δ(t)C⊙C(t−1)⊙f(t)⊙(1−f(t))](h(t−1))T∂L∂Wf=∑t=1τ[δC(t)⊙C(t−1)⊙f(t)⊙(1−f(t))](h(t−1))T

 

5. LSTM小结

　　　　LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

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参考资料：

1） Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen

2） Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville

3） UFLDL Tutorial

4）Understanding-LSTMs

 

分类: 0082. 深度学习