伽马分布
伽玛分布(Gamma Distribution)是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α称为形状参数(shape parameter),β称为尺度参数(scale parameter)。
假设随机变量X为 等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为
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性质:
1、β=n,Γ(n,α)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中 ,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现 n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有 n 只船到达所需的时间都服从 Erlang分布;
2、当α= 1 , β = 1/λ 时,Γ(1,1/λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp (λ) ;
3、当α =n/2 ,β=1/2时,Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。
对于Γ(a ,β ),E( X) =a/β,D ( X) =α / (β*β)
5、(Gamma 分布的可加性):设随机变量 X1 , X2 , …, Xn 相互独立,并且都服从Gamma 分布,即Xi ~Γ(αi , β),i =1 ,2 , …, n , 则:
X1 + X2 + …+ Xn ~ Γ(α1 +α2 + …+αn ,β )
其实你只要记住了Gamma function![\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt](//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%28%5Calpha%29+%3D+%5Cint_0%5E%5Cinfty+t%5E%7B%5Calpha-1%7De%5E%7B-t%7Ddt)
做积分变换
,可得
,从而
![\frac{1}{\Gamma(\alpha,\beta) } \beta^\alpha\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x\beta}dx = 1](//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CGamma%28%5Calpha%2C%5Cbeta%29+%7D+%5Cbeta%5E%5Calpha%5Cint_0%5E%5Cinfty+x%5E%7B%5Calpha-1%7De%5E%7B-x%5Cbeta%7Ddx+%3D+1)
那么Gamma distribution 就很好记了。
并且伽马分布与一大坨分布有着暧昧的关系,比如:
Erlang distribution、Chi-squared distribution、Exponential distribution、Beta distribution、Normal distribution
最后来个分布族谱图:
做积分变换
那么Gamma distribution 就很好记了。
并且伽马分布与一大坨分布有着暧昧的关系,比如:
Erlang distribution、Chi-squared distribution、Exponential distribution、Beta distribution、Normal distribution
最后来个分布族谱图:
Gamma分布即为多个独立且相同分布(iid)的指数分布变量的和的分布。
(最新修改,希望能够行文布局更有逻辑)
——————泊松过程——————
指数分布和泊松分布的关系十分密切,是统计学中应用极大的两种分布。
其中泊松过程是一个显著应用。
泊松过程是一个计数过程,通常用于模拟一个(非连续)事件在连续时间中发生的次数。
①
②
扩展补充:
这是因为
③
即
根据增量独立性,易知其成立。
——————泊松→指数——————
假设
所以
所以
即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。
——————指数→Gamma—————
再令
即
Gamma分布即为多个独立且相同分布(iid)的指数分布变量的和的分布。
——————证明——————
假设
①Moment Generating Function(MGF):
MGF的定义为
则
其性质为
下证:
则
为Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function
②数学归纳法:
已知
所以当
假设
当
其中
为
当然,Gamma分布与Beta,Chi-square分布也有着十分紧密的联系,不过在统计学应用中都不如与指数分布的联系来得重要。