拓展欧几里得算法

学习拓展欧几里得算法的目的是为了解决直线上的点的问题：求直线ax + by +c = 0 上有多少个整点（x, y）满足x∈[x1, x2], y∈[y1, y2]；(在此为了推导方便，把ax +by + c = 0换成 ax +by = c, 效果相同)

在下面我会用@1解决@2，再用@2解决@3，最后回来解决@1， 这样就解决了@3（直线上的点的问题）

 

拓展欧几里得算法： ax + by = gcd ( gcd 表示gcd(a, b)， 下同)         @1

假设c/gcd为整数， 上式两边*(c/gcd)      得ax(c/gcd) + by(c/gcd) = c           @2   （若c/gcd不为整数解，则直线上的点的问题也不会有整数解）

由上式解可得ax + by = c 的一组解 ，即可得直线上的点的问题的一组解。 由这组解（x。, y。）去求全部解：（x。+s。，y。- t。）;                 @3

a(x。+s。) + b(y。- t。) = c ,结合ax。+by。= c可得：as。= bt。两边 / gcd ，得：a / gcd *s。= b / gcd * t。由于a/gcd与b/gcd互质，则s。必为b/gcd的倍数，

设为s。= k*b/gcd , 可推出t。= k*a/gcd

则ax + by =c 的解为x = x。+k*b/gcd, y = y。- k *a/ gcd;    k 为任意整数

x 的最小非负数解为（(x。%  (b/gcd) ) + b/gcd）%(b/gcd)   写的这么麻烦是防止x。为负数时出错

注意（x。, y。）是ax+by = c的一组解，直线上点的坐标要用拓展欧几里得里的解表示则为：x = x ₁c/gcd+ kb/gcd; y = y ₁c/gcd - ka/gcd (x₁, y₁)为拓展欧几里得里的一组解

 

回来解决@1：

我们先解决这个问题：    若ax ₁+ by₁=gcd, bx₂ + (a%b)y₂ = gcd ，如何通过（x₂, y₂）求得（x₁, y₁）的一组解

首先 ：a%b = a- a/b*b    (计算机的思维就是这么妙) 

联立上式得：ax₁+by₁=ay₂ + b(x₂-(a/b)y₂) ,可以得到它的一组解（注意就是一组解） x₁ = y₂;  y₁ =x₂ - (a/b)y₂            @4

解决这个问题后，我们就来解决ax+by =gcd的问题

首先gcd(a, b)  = gcd ( b, a%b) ,边界：b = 0

则把上式不断变换，得到 a * x + 0 * y= gcd(a, 0) = a, 注意：这里的a,x,y都不是原来的a, x, y了， 在这里可取 x =1 , y =0 ; a = gcd (a, 0) = gcd(gcd为原来的a,b 的最大公因数)，可得a值 

然后通过@4的式子不断回溯，可得最初的ax + by = gcd 的一组解

最后和@3中差不多 ，设全部解：（x₁+s。，y₁ - t。），然后代入，解得x = x₁+k*b/gcd, y = y₁- k *a/ gcd; 

x 的最小非负数解为（(x₁%  (b/gcd) ) + b/gcd）%(b/gcd)  

拓展欧几里得算法：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = exGcd(b, a % b, x, y);      //g 是 gcd 
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return g;
}

嗯，基本就是这些了

 

补充：

1.思考了a, b为负数的情况，当a,b 为负数时代码应该要有调整，使得传入exGcd的a, b为正数，并对对应的x或y进行取反操作；