乘法逆元

基于模运算和同余定理的知识（取模运算+同余定理）

定义：若ax≡1 mod p, 且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于1模p的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod p)。

           当a与p互质时，a关于模p的乘法逆元有解。如果不互质，则无解。如果p为质数，则从1到p-1的任意数都与p互质，即在1到p-1之间都恰好有一个关于模p的乘法逆元。

           比如5和14,易知5和14互质(公约数只有1的两个整数)，那么可以求出5关于1模14的乘法逆元为3 。

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  百度中有：

求5关于模14的乘法逆元：

14=5*2+4

5=4*1+1

说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。

1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14

因此，5关于模14的乘法逆元为3。

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说一下乘法逆元的求法：

1.费马小定理求逆元：

 

费马小定理：假如 a是一个整数， p是一个质数，那么 a^p − a 是p的倍数，可以表示为 a^p ≡ a ( mod p ) ；

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成  a^p-1 ≡ 1 ( mod p )  ；

由费马小定理 a^p-1≡1(mod p) , 变形可以得到 a*a^p-2≡1(mod p)，那么，因为a*a^p-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=a^p-2(mod p),用快速幂可快速求之.

2.扩展欧几里得定理求逆元(具体看欧里几德定理及其扩展)

   ax≡1 (mod p)即由此定理可得ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。