浮点数的存储方式和ctf实战

　　1、（1）数字分两种：整数和小数。之前介绍了整数溢出，本文介绍小数（浮点数）的存储和表示方法；整数的表示方法很简单：按照一定的计算方式转成二进制即可，比如10进制的9转成二进制1001，内存中最小存储单元是字节，也就是8bit；如果用1byte存储9，那么转成二进制就是00001001，这个应该不难理解；那么小数或浮点数该怎么表示和存储在内存了？

       （2）举个例子：6.625这个浮点数，整数部分是6，小数部分是0.625，要想存储在内存，必须先转成二进制的形式；整数部分和小数部分转换的方式刚好相反，如下：

 　　　　（2.1）整数部分6：这个很常见，每次除以2，用商继续除以2，直到商为0为止。6的二进制表示就是110；

                           

                （2.2）小数部分0.625：这个该怎么表示成二进制了？ 整数部分是除以2，小数部分刚好反着，就是乘以2，计算过程如下：小数部分就是101

　　　　　　     

  　　　　（2.3）6.625用二进制小数“表示”就是：110.101；怎么验证110.101转成10进制后就是6.625了？整数部分很好验证：2^2+2^1+0*2^0=6，小数部分怎么验证了？形式和整数是一样的！

 　　　　　　    1*2^(-1)+0*2^(-2)+1*2^(-3)=0.5+0+1/8 = 0.625

                   通过上述互相转换验证了小数部分转成二进制方式是正确的！

       （3）内存从硬件上看都是无数个小电容构成的。电容充电就是1，放电就是0；所以内存中所有的数都是0101这种二进制串，是没法直接表示小数点的，这种情况只能继续通过人为抽象存储格式来存浮点数了。目前国际通用的浮点数存储规则是IEEE754，浮点数存储格式如下：

　　　　     

 　　　　按照上面的标准，110.101 = 1.10101*2^2( 二进制小数点左移两位，相当于翻2^2倍，和位运算中的移位是一样的！) ，此时进一步抽象出了几个关键的“描述符”：s=0，M=1.10101，E=2；到了这里上述问题还是存在：内存硬件上只能存01二进制串，怎么存（表）储（示）小数点了？

　　 （4）第（3）步抽象出s、M、E这些“描述符”后，利用这些信息是不是已经完全能够还原110.101这个浮点数了？答案是肯定的！套用上述的公式，能得到1.10101*2^2，根据这个进一步还原得到110.101；

所以在内存中存储浮点数，等价于在内存中存储s、M、E这些关键信息；

　　 （5）s、M、E这些关键信息又是按照什么标准或方式在内存中存放的了？格式如下，以4字节的float为例: 最高位31位放s，23~30这8bit存放E，剩下23bit存放M；

        

 　　  几点需要注意：

• E是指数，所以有可能是负数，这8bit是怎么表示负指数的了？这里就和有符号数表示有本质区别了。有符号数最高位1表示负数，0表示整数，但这里不这么干，而是指数+127；比如这里的指数是2，那么E=127+2=129=1000 0001（所以这里指数最大不能超过2^127-1，表示浮点数足够了！）；如果指数是负数，比如-5，那么E=127-5=122=111 1010；
• M：所有M中小数点左边都是1，所以这1位可以省略，直接存剩下的位数；
• M：只有23位，如果10进制的小数部分乘以2始终不为1，那么只取23位，其余的舍弃，所以这是部分浮点数有误差、无法精确表示的根本原因！最低为舍弃时如果是1就不能直接舍弃，还要+1；

　　  所以6.625这个浮点数经过一系列转换后，最终在内存中的存储形式如下：

         

 　　  cpu从内存中读取这4字节数据后，按照上面的规则反过来计算出10进制的浮点数！

 

　　2、这里来看一道2018护网杯CTF题目：getting_start；题目的代码是酱紫的：

　　   

 　　  这里需要执行system("bin/sh")这行代码，也就是说上面if条件不能成立；这里v7已经相等了，只能看v8了；v8已经有了初始值，怎么才能让v8=0.1了、让if条件不成立了？

　　   这里能接受用户输入的地方有read，数据保存在buf中，所以这里只能通过控制buf的值来改变栈上的数据，当然也包括v8了！老规矩，先画个栈图，能直观理解：

　　　

 　　buf距离v8有32字节，而read会读取0x28=40字节，所以如果buf全部读取40字节，连下面的v9都能覆盖！不过这里v9和本题无关，暂时放过它！buf、v5、v6随便写，那么前24字节随便写，这里用“a”替代；由于v7要保持原值，所以第25~28字节是0x7FFFFFFFFFFFFFFF；接下来就是最重点的部分了：29~32字节、也就是v8怎么填写二进制数据，才能让这里的值等于0.1？这里先偷个懒：下面参考这里链接有个工具，可以直接把double类型的小数转成二进制形式，如下：

　　

 　　那么最后4字节就是0x3FB999999999999A，所以最终的payload=b"a"*24+ p64(0x7FFFFFFFFFFFFFFF) + p64(0x3FB999999999999A);

　　3、站在学习的角度，这里从头开始手搓一下0.1在内存中的存放形式；

　　（1）0.1是10进制，先转成小数二进制的形式；按照之前的方法，每个步骤如下：

　　   

 　　这里出现了一个有趣的现象：从第6步开始出现了循环，所以没必要再挨个计算了，这里直接写出二进制的形式：0.0 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011.....

 　（2）二进制的形式有了，现在要提取s、M、E三个要素，这里要继续做格式转换。小数点向右移4位才遇到第一个1，所以这时表达式变成了：

　　　　   1.1 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011*2^(-4)

　　　  这里三个要素就明确了：s=0，M=1 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 001 ,  E=(2^10-1)-4=1023-4=1019=011 1111 1011;

　　　  注意：这里的M只保留52位时，最后一位是1，这位不能直接去掉，要在末尾+1（小数存放的误差就是这么来的），所以真正的M = 1 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 010

     （3）再按照标准把s、M、E首尾拼接（我这里为了区分三要素，人为用||隔开了，实际上是没有||的）：0 || 011 1111 1011  || 1 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 010 ，也就是0011 1111 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 = 0x3FB999999999999A；

 

参考：

1、https://www.bilibili.com/video/BV1j7411H7Fc?p=8  浮点数进制转换（讲的很详细，强烈建议看完）

2、http://www.binaryconvert.com/result_double.html?decimal=048046049   非常好用的浮点数(float或double)10进制和2进制之间转换的工具