人生路径规划—Dijkstra动态规划和TSP旅行者问题

　　年底了，在做各种总结，回顾一下2020年的收获和不足。这一年开了博客，总结了逆向、渗透和网络安全方面的技术和知识点，距离自己设定的目标又进了一步；总结的时候突然想到了一个经典的路径规划问题：一个旅行者从A出发到F，中间有多条路线走，哪条路线是成本最低的了？ 这个和人生职业发展是不是类似了？小时候立志成为xxx，为了实现理想，可能要分多步走，怎么规划才能成本最低、效果最优了？PS: 路由器的OSPF路径规划也用了这种算法！

        1、下面是示意图: 起点是A，终点是F，中间点是BCDE，每连个点之间都是通的，路径的长度如图所示，从A到F那条路才是最短的（注意：数字是随机生成的，并不和看起来的长度成正比）？这就是业界著名的Dijkstra动态规划问题；

           

        解决问题的核心思路：

•  既然要找到全局最短的路径，那么必须找到每一步的最短路径，所有步骤加起来才会是全局最短的；
•  从A出发，穷举连接所有节点的距离，选出最短的节点，下一步从该节点继续重复这一步，直到到达终点；

　　 上面是理论思路，下面具体的步骤：

       （1）从A出发，穷举和A连接所有节点的距离。如果没直连，距离用NA或无穷大表示，如下：

         

         从A出发，到E的距离最短，此时锁定E节点，将其作为跳板继续寻找下一条最优的路线，具体的方法：E直连了D和F，距离分别是3和8，那么A如果以E为中继节点，到D和F的距离就变成了7+3=10、7+8=15；如果A不以E为中继节点，到D和F的距离分别是12和无穷大，很显然通过E中继比之前的距离更短，这里就更新路由表如下：

         

         因为已经使用了E作为中继，就不能再动，这里用黄色标记一下；同时把AD和AF截至目前的最短路径（分别是AED、AEF）也标记一下；至此，已经找到了第一个最优的中继节点E：通过该节点中继能缩短现有其他路线的距离（这里缩短了A->D和A->F的距离）！

     （2）跟新后的路由表如上：此时继续选距离最短的点中继。相比之下，AED距离10是最短的，所以从这里D开始中继；和D直连的节点是C和F，如果以D为中继节点，A到C和F的距离分别是10+5=15、10+6=16，和以前比，AC的距离没变，AF的距离比之前的15还要多1，所以从D出发，并没有缩短现有路由表的距离，此时忽略D节点中转，路由表标时如下：

        

     （3）继续寻找下一个可能的最优中继节点：先在只剩B和C了，相比之下AB距离14，那么临时把B作为中继节点；B只能到F，那么ABF就是14+5=19，还是比现有的AEF大，所以B节点继续忽略；

        

     （4）先在只剩C节点了: C能到B和F，ACB=21、ACF=25，和现在的AB、AF比并没有降低，所以不用更新现有路由表；这一步后所有的中间节点都已经遍历，从A到各个节点最优的路由也就定了，如下：

       

       A到B、C不变，到D和F从E中转！

       2、和Dijkstra动态规划类似的另一个问题：TSP（traveling salesman problem），一个salesman要遍历所有城市，但每座城市只能去一次，最后回到起点；城市之间互相都是通的，但来去的成本不同，要求遍历所有城市的成本最低；抽象出来的问题描述如下：

      A、B、C、D四座城市互相连通（双向联通），城市之间的travle成本如右边矩阵所示；这个矩阵是非对称矩阵，具体到业务上就是来回的成本不是一样的。比如从A->B是16，但是从B->A是8；又比如C->D是9,但D->C是2；从那个城市出发，这个城市就从行查目的地的城市放在列！

         

      不同于上面的Dijkstra路由规划，这里的TSP是双向的，最核心的区别在于：TSP要求回到出发点，而Dijkstra不需要；前者要求回路闭环，后者要求单向无环！正是这种差异，导致了算法层面刚好相反：Dijkstra是从起点出发（刚开始不知道从哪跳转，只能从起点开始选下一个中继点），每次都找最近的节点作为中继；TSP是知道“终点”，所以从所有能穷举的“终点”出发，倒过来找成本最低的边；

      具体的过程如下：

      （1）先穷举（这就是这种算法复杂度高的原因之一：如果）出所有从A出发、最终能回到A的路线，如下：

        

      （2）根据上面的那个遍历矩阵，从底部的“终点”出发，计算出每个分支的遍历成本，选择成本最小的分支替代替另一个分支，比如：

•  最左边的分支：BCDA和BDCA，这两个分支只能留一个，就看那个分支的成本最低了；BCDA的成本是13+9+5=27，BDCA的成本是16+2+4=22，比前面的小，所以BCDA废除，这里只保留BDCA；
•  同理：中间的C分支有CBDA和CDBA，成本分别是7+16+5=28和9+12+8=29，保留CBDA，废除CDBA；
•  同理：最右边的分支DBCA和DCBA，成本分别是12+13+4=29和2+7+8=17，保留DCBA；
•  B、C、D三个分支中，B分支最短是22，是BDCA；C分支最短是28，是CBDA；D分支最短是17，是DCBA；
•  AB=16，加上BDCA的22，最终是38；AC=11，加上CBDA的28，最终是39；AD=6，加上DCBA的17，最终是23；所以ADCBA是最优的路径，成本是17，完胜！

      （3）为了便于编码实现，还需要进一步抽象整个过程，如下：

•  g(i,s) = min{w(i,j)+g(j,{s-j})}， 其中i、j是图中的点，s是去掉出发点后所有点的集合；w(i,j)表示图中i、j两个点之间的权重；s-j表示除去j后剩余点的集合；

      （3.1）具体的计算表示：g(A,{B,C,D}) = min{w(A,B)+g(B,{C,D})}，其中w(A,B)是已知的，那么问题就转发成了求g(B,{C,D}了；

        g(B,{C,D} = min{g(B,C)+g(C,{D})} 或 = min{w(B,D)+g(D,{C})}，问题又转换成了求g(C,{D})和g(D,{C})了，这两个等价于w(C,D)和w(D,C);

      （3.2）上面分解了g(A,{B,C,D}) = min{w(A,B)+g(B,{C,D})}，这只是其中一个分支，还需要用同样的方法求另外两个分支：g(A,{B,C,D}) = min{w(A,C)+g(C,{B,D})} 和g(A,{B,C,D}) = min{w(A,D)+g(D,{C,D})} 

        所有分支求出来后，找到最小的分支就是最终的结果！

        这两个算法非常经典，思路也很成熟了，github上的代码有一堆，感兴趣的小伙伴可以自行去找找尝试尝试！

 

 注意：TSP解决的算法还有遗传算法、模拟退火等，上述算法叫深度优先遍历（俗称“使蛮力”），只是众多算法中的一种；

参考：

1、https://www.bilibili.com/video/BV1gz4y1S7jD?p=31 动态规划

2、https://www.油管.com/watch?v=hh-uFQ-MGfw  Traveling Salesman Problem using Dynamic Programming | DAA  （需要自备梯子；印度人讲的，动态演示整个过程，通俗易懂；除了口音听着憋屈，其他没毛病！）