for循环次数优化
1、今天遇到了一道有意思的数学题：
政府采购一批IT配件，总预算10000元，条件如下：
- 移动硬盘每个500，普通硬盘每个300，U盘3个100；
- 所有配件个数加起来100个，并且钱刚好花完；
问题来了： 移动硬盘、普通硬盘、U盘分别买多少个？
这里原理并不复杂，用a、b、c分别表示3种设备的数量，得到如下等式：
a+b+c=100;
a*500+b*300+c*100/3 = 10000;
2、根据上述的限制条件，普通的开发人员不动脑立刻就能想到for循环的解决办法如下：
这么做的时间复杂度是0(N^3）；这里还好每次循环只有100次，所以3次循环一共只有10^6次。如果每次循环1000次了，3层嵌套就是10^9=1亿次了，电脑明显会卡顿。如果这样面试大厂，分分钟被面试官教育人生，offer想都不用想了！
3、第一种优化思路：移动硬盘500元一个，10000元最多买20个；普通硬盘300元一个，10000元最多买33个；U盘100元3个，那么U盘个数肯定是3的倍数，换句话说除以3余数是0，所以新的表达式如下：
a+b+c=100;
a*500+b*300+c*100/3 = 10000;
其中： 0=<a<=20; 0=<b<=33; c%3=0&c>=0; 根据这种思路的代码如下：
这次结果是对的，但是循环次数已经降到660次，时间复杂度是O(n^2)，少了一个数量级；这种代码普通电脑计算时已经毫无压力！
4、其实还有优化空间，过程推导如下:
- a+b+c=100; ----- 表达式1
- a*500+b*300+c*100/3 = 10000; ----- 表达式2
- 表达式2两边同时除以100，乘以3得到：15a+9b+c=300; -----表达式3
- 由表达式1得到：c=100-a-b, 带入表达式3替换c，最终得到：7a+4b=100 => b = 25-7*a/4；-----表达式4
- 因为b必须是正整数，所以a必须是4的倍数，并且a<=12, 这里记作a=4*i（0=<i<=3）;
- 所以b=25-7*(4*i)/4=25-7*i
- 又所以c=100-a-b=100-4*i-（25-7*i）=75+3*i
所以整个代码优化如下：这里只循环4次就搞定了！ 本质上是：人为已经把a、b、c的取值计算方式想好，只是通过计算机落实而已！前面两种方式纯粹是通过计算机的算力暴力求解，后面这种是人为优化解法！
循环次数进一步降到4次，时间复杂度降低到O(n)；空间复杂度降低到O(1);
完整代码如下：
#include <iostream> #include <ctime> #include <chrono> using std::chrono::high_resolution_clock; using std::chrono::milliseconds; int main() { high_resolution_clock::time_point beginTime1 = high_resolution_clock::now(); for (int a=0; a<=100;a++) { for (int b=0;b<=100;b++) { for (int c = 0; c <= 100; c++) { if ((a*500+b*300+c*100/3 == 10000)&&(a+b+c==100)) { printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d\n",a,b,c); } } } } high_resolution_clock::time_point endTime1 = high_resolution_clock::now(); milliseconds timeInterval1 = std::chrono::duration_cast<milliseconds>(endTime1 - beginTime1); std::cout << "运行耗时:"<< timeInterval1.count() << "ms\n"; printf("===================================================================>\n"); high_resolution_clock::time_point beginTime2 = high_resolution_clock::now(); for (int a = 0; a <= 10000/500; a++) { for (int b = 0; b <= 10000/300; b++) { int c = 100 - a - b; if (c % 3 != 0) continue; if (a * 500 + b * 300 + c * 100 / 3 == 10000) { printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d\n", a, b, c); } } } high_resolution_clock::time_point endTime2 = high_resolution_clock::now(); milliseconds timeInterval2 = std::chrono::duration_cast<milliseconds>(endTime2 - beginTime2); std::cout << "运行耗时:" << timeInterval2.count() << "ms\n"; printf("===================================================================>\n"); for (int i = 0; i <= 3; i++) { printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d\n", 4*i, 25-7*i, 75+3*i); } }
