浅谈高精度算法（加减乘除）
在C/C++中，不时会遇到限定数据范围的情况，我们先来看看常用的int和long long两种数据类型的范围吧。
C++标准规定，int占一个机器字长。在32位系统中int占32位，也就是4个字节，所以在32位系统中，int的范围是[-2^31,2^31-1]，为10^9数量级；而long long的范围则是[-2^63,2^63-1]，为10^18数量级，但当一些ACM/OI题目中测试数据范围超过此范围，甚至超过double（1.7*10^308数量级）时，该怎么办？Java有大数类，而python的整数也是不限制长度的，虽然C++的整数长度受到限制，但我们也有高精度算法，下面，我将介绍几种常见的高精度整算法。
一、高精度加法。
对于10^308以上的大数，确实不能用C++内置的数据类型直接处理，但回想我们曾经做过的小学算术问题，两个整数相加，先从个位算起，过十进位，依照这个思路，我们可以将大数存放在数组中，再利用数组去模拟加法运算的过程，代码如下：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; char s1[505],s2[505]; int a[505],b[505],c[505]; int main(){ int m,n,v,t; std::ios::sync_with_stdio(false); cin>>s1>>s2; m=strlen(s1); n=strlen(s2); memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); for(int i=0;i<m;i++){ a[m-1-i]=s1[i]-'0'; } for(int i=0;i<n;i++){ b[n-1-i]=s2[i]-'0'; } m=max(m,n); m++; memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=0;i<m;i++){ v=a[i]+b[i]; if((c[i]+v)<10) c[i]+=v; else{ c[i+1]+=(c[i]+v)/10; c[i]=(c[i]+v)%10; } }
//下面是一种更简单的做法，结果直接储存在a中 /*for(int i=0;i<m;i++){ a[i]+=b[i]; a[i+1]+=a[i]/10; a[i]%=10; }*/ if(c[m-1]==0) m--; for(int i=m-1;i>=0;i--) cout<<c[i]; return 0; }
二、高精度减法。
和高精度加法的基本思路相同，不过在减法中，需要确定输入数字的相对大小来判断是否输出负号，还需要注意是否要"借位"。上代码：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; bool compare(char s1[],char s2[]){ int u=strlen(s1),v=strlen(s2); if(u!=v) return u>v; for(int i=0;i<u;i++) if(s1[i]!=s2[i]) return s1[i]>s2[i]; return true; } //比较两个数相对大小 int main(){ std::ios::sync_with_stdio(false); int flag=1,i,j; char s1[100005],s2[100005],s3[100005]; //这里为节省空间考虑，直接用char数组运算 cin>>s1>>s2; if(compare(s1,s2)); else{ flag=-1; strcpy(s3,s1); strcpy(s1,s2); strcpy(s2,s3); } int u=strlen(s1),v=strlen(s2); for(i=u-1,j=v-1;j>=0;i--,j--){ if(s1[i]<s2[j]){ s1[i-1]-=1; s3[i]=s1[i]-s2[j]+10+'0'; } else s3[i]=s1[i]-s2[j]+'0'; } //从最后一位向前减 for(;i>=0;i--) { if(s1[i]<'0'){ s1[i-1]-=1; s3[i]=s1[i]+10; } else s3[i]=s1[i]; } //s1数位大，所以还有s1减'0' for(i=0;i<u-1&&s3[i]=='0';i++); //只到u-1的原因时 if(flag==-1) cout<<'-'; cout<<s3+i; return 0; }
三、高精度乘法。
依旧是模拟算术做竖式乘法的过程，要注意进位，贴代码：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; char a[2005],b[2005]; int c[2005],d[2005],e[4005]; int u,v,w; int main(){ int i,j; cin>>a>>b; u=strlen(a); v=strlen(b); memset(c,0,4005); for(int i=0;i<u;i++) c[u-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<v;i++) d[v-1-i]=b[i]-'0'; for(i=0;i<u;i++){ for(j=0;j<v;j++){ w=c[i]*d[j]; if(e[i+j]+w<10) e[i+j]+=w; else{ e[i+j+1]+=(e[i+j]+w)/10; e[i+j]=(e[i+j]+w)%10; } } } for(i=u+v-1;i>0&&e[i]==0;i--); //此处是为了不漏掉输出结果为0而将条件写为i>0 for(;i>=0;i--) cout<<e[i]; return 0; }
四、高精度除法。
高精度除法分两种，都是仿照竖式除法实现，一种是高精度除以低精度，较为容易实现，主要是利用一个数，在线处理：
#include<iostream> #include<cstring> #include<string> using namespace std; char s1[5005]; int a[5005],b,c[5005],x=0; int main(){ cin>>s1>>b; a[0]=strlen(s1); for(int i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[i-1]-48; memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=1;i<=a[0];i++){ c[i]=(x*10+a[i])/b; x=(x*10+a[i])%b; } //核心部分 x=1; while(c[x]==0&&x<a[0]) x++; for(;x<=a[0];x++) cout<<c[x]; return 0; }
另一种，是运用逐次相减的方法确定出商和余数，代码如下：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int a[5005],b[5005],c[5005],d[5005]; bool compare(int a[],int b[]){ if(a[0]!=b[0]) return a[0]>b[0]; for(int i=a[0];i>0;i--){ if(a[i]!=b[i]) return a[i]>b[i]; } return true; } int main(){ std::ios::sync_with_stdio(false); string s1,s2; cin>>s1>>s2; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); a[0]=s1.length(); b[0]=s2.length(); for(int i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0'; for(int i=1;i<=b[0];i++) b[i]=s2[b[0]-i]-'0'; c[0]=a[0]-b[0]+1; for(int i=c[0];i>0;i--){ //c[0]代表最初a,b的数位差 memset(d,0,sizeof(d)); for(int j=1;j<=b[0];j++) d[j+i-1]=b[j]; d[0]=b[0]+i-1; //先让b中存下的数与a在一个数量级 while(compare(a,d)){ //比较，如果a比较大，用a直接减去d，如果a比较小，下一次大循环中，d的位数会减一 c[i]++; for(int i=1;i<=a[0];i++){ a[i]-=d[i]; if(a[i]<0){ a[i+1]--; a[i]+=10; } } while(a[0]>0&&a[a[0]]==0) a[0]--; } } while(c[0]>1&&c[c[0]]==0) c[0]--; cout<<"商："; for(int i=c[0];i>0;i--) cout<<c[i]; cout<<endl<<"余数："; for(int i=a[0];i>0;i--) cout<<a[i]; //a中最后剩下的就是余数 return 0; }
好的，高精度基础算法介绍完毕，大家不妨自行动手一试。
