HDU 5035 Delivery 题解
题解 数学 概率 期望
表示今年刚学概率论
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题目大意：
Matt一个发快递，快递点有N个职员，职员处理一个客户的时间服从指数分布：f(t)=λe−λt,其中的参数λ为职员的效率，现在给出每个职员的效率，同时给了一个场景：现在每个职员都有且只有客户在服务中，此人还从信息牌得知了每个职员已经为当前客户服务了c时间，题目中也给出了，一旦有客户被服务完毕，则这个人就立刻去接受服务。问在此场景下，这个人发快递需要的时间的期望是多少？
解析：
首先几何分布的一些性质：
一个几何分布的概率密度函数是：
f(xλ)={λe−λx0,x≥0,,x<0.
概率分布函数为：
F(xλ)={1−e−λx0,x≥0,,x<0.
指数分布具有“无记忆性”，如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：
P(T>s+t|T>t)=P(T>s)for
all s,t≥0.
然后分析该题目，利用指数分布的无记忆性可以知道，如t0时刻,第i个职员第一个服务完当前客户，那么接着就会服务Matt，然后服务完Matt。这个过程时间的期望就是我们要求的结果。
因此我们要求的就是：
∑i=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx
解释下上面长长的式子：
第i个职员t时刻接待Matt的概率为λie−λi(此时第i个结束时间为t的概率)，乘上∏j≠i∫+∞xf(x:λj)dx（其它职员结束时间大于t的概率))；而这种情况下的时间为(E(Xi)+t)
t可以从0一直取到+∞，把所有的职员按照上面的情况分析一边，就有了上面的那个式子了。由于指数分布的无记忆性，可以知道题目中给的已服务时间实际上是没有用的……
剩下的就是一些化简计算了，
∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠ieλjdx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−∑Ni=1λidx=∑k=1N(1∑Ni=1λi+λi(∑Ni=1λi)2)=N+1∑Ni=1λi
有了这个公式代码应该是不难写，不过要注意这题数据比较多，cin或许或TLE～
