647. 回文子串（C++）

 题目描述：

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被计为是不同的子串。

示例 1:

输入: "abc"
输出: 3
解释: 三个回文子串: "a", "b", "c".
示例 2:

输入: "aaa"
输出: 6
说明: 6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa".
注意:

输入的字符串长度不会超过1000。

思想1：动态规划

状态：dp[i][j] 表示字符串s在[i,j]区间的子串是否是一个回文串。
状态转移方程：当 s[i] == s[j] && (j - i < 2 || dp[i + 1][j - 1]) 时，dp[i][j]=true，否则为false
状态转移方程的含义：

• 当只有一个字符时，比如a自然是一个回文串。
• 当有两个字符时，如果是相等的，比如aa，也是一个回文串。
• 当有三个及以上字符时，比如ababa这个字符记作串1，把两边的a去掉，也就是bab记作串2，可以看出只要串2是一个回文串，那么左右各多了一个a的串1必定也是回文串。所以当s[i]==s[j]时，自然要看dp[i+1][j-1]是不是一个回文串。

 

代码1：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len = s.size();
        int count = 0;
        vector<vector<bool> >dp(len,vector<bool>(len));
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=0;j<=i;j++){
                if(s[i]==s[j]&&(i-j<2||dp[j+1][i-1])){
                    dp[j][i] = true;
                    count++;
                }
            }
        }
        return count;
    }
};

 

思想2：中心扩展法

对一个字符串ababa，选择最中间的a作为中心点，往两边扩散，第一次扩散发现left指向的是b，right指向的也是b，所以是回文串，继续扩散，同理ababa也是回文串。

这个是确定了一个中心点后的寻找的路径，只要寻找到所有的中心点，问题就解决了。

中心点一共有多少个呢？看起来像是和字符串长度相等，但会发现，如果是这样，上面的例子永远也搜不到abab，想象一下单个字符的哪个中心点扩展可以得到这个子串？似乎不可能。所以中心点不能只有单个字符构成，还要包括两个字符，比如上面这个子串abab，就可以有中心点ba扩展一次得到，所以最终的中心点由2 * len - 1个，分别是len个单字符和len - 1个双字符。

如果上面看不太懂的话，还可以看看下面几个问题：

为什么有 2 * len - 1 个中心点？

• aba 有5个中心点，分别是 a、b、c、ab、ba
• abba 有7个中心点，分别是 a、b、b、a、ab、bb、ba

什么是中心点？

• 中心点即left指针和right指针初始化指向的地方，可能是一个也可能是两个

为什么不可能是三个或者更多？

• 因为3个可以由1个扩展一次得到，4个可以由两个扩展一次得到

代码2：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int count = 0;
        int len = s.size();
        for(int center=0;center<2 * len -1;center++){
            //left和right指针和中心点的关系是:left有一个很明显的2倍关系的存在，其次是right，
　　　　　　　//可能和left指向同一个（偶数时），也可能往后移动一个（奇数）
            int left = center / 2;
            int right = left + center % 2;
            while(left>=0 && right<len && s[left]==s[right]){
                count++;
                left--;
                right++;
            }
        }
        return count;
    }
};