416. 分割等和子集

题目描述：

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200
示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
 

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

思想：0-1背包

做这道题需要做这样一个等价转换：是否可以从这个数组中挑选出一些正整数，使得这些数的和等于整个数组元素的和的一半。前提条件是：数组的和一定得是偶数，即数组的和一定得被 22 整除，这一点是特判。

作为“0-1 背包问题”，它的特点是：“每个数只能用一次”。思路是：物品一个一个选，容量也一点一点放大考虑（这一点是“动态规划”的思想，特别重要）。

 

详细分析参考：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/0-1-bei-bao-wen-ti-xiang-jie-zhen-dui-ben-ti-de-yo/

代码1：使用二维dp

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len == 0)
            return false;
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
            sum += nums[i];
        if(sum & 1 == 1)
            return false;
        int target = sum / 2;
        vector<vector<int>> dp(len,vector<int>(target+1));
        dp[0][0] = true;  //容量为 0 的时候，即 dp[i][0] 按照本意来说，应该设置为 false ，但是注意到状态转移方程,
　　　　　　　　　　　　　　　　//j - nums[i] == 0 成立的时候，根据上面分析，就说明单独的 nums[i] 这个数就恰好能够在
　　　　　　　　　　　　　　　　//被分割为单独的一组，其余的数分割成为另外一组，因此把初始化的 dp[i][0] 设置成为 true 
　　　　　　　　　　　　　　　　//在代码运行层面是完全没有问题的
        if(nums[0] <= target)
            dp[0][nums[0]] = true;
        for(int i = 1;i < len;i++)
            for(int j = 0;j <= target;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(nums[i] == j){
                    dp[i][j] = true;    
                    continue;
                }
                if(nums[i]<=j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i]];
                if(dp[i][target])  //剪枝操作，or 的结果只要为真，表格下面所有的值都为真，因此在填表的时候，只要表格的最后一列是 true，代码就可以结束
                    return true;
            }
        return dp[len-1][target];
    }
};

代码2：使用一维dp

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len == 0)
            return false;
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
            sum += nums[i];
        if((sum & 1) == 1)
            return false;
        int target = sum / 2;
        vector<int> dp(target+1);   //在“填表格”的时候，当前行只参考了上一行的值，因此状态数组可以只设置 2 行，
                                    //使用“滚动数组”的技巧“填表格”即可；实际上连“滚动数组”都不必，                                   
                                    //在“填表格”的时候，当前行总是参考了它上面一行 “头顶上” 那个位置和“左上角”某个位置的值。
                                    //因此可以只开一个一维数组，从后向前依次填表即可。

        dp[0] = true; 
        if(nums[0] <= target)
            dp[nums[0]] = true;
        for(int i = 1;i < len;i++)
            for(int j = target;nums[i] <= j;j--){   //从后向前遍历j,当j的值小于nums[i]时，停止该轮循环
                if(dp[target] == true){
                    return true;
                }
                dp[j] = dp[j] || dp[j-nums[i]];
            }
        return dp[target];
    }
};