ONAG读书笔记

一 \(\mathrm{No}\)构成了一个域

game 和 number 的定义

\(game\)：\(\{ L|R\}\)，其中 \(L\) 和 \(R\) 都是 \(game\) 构成的集合。

\(number\)：在 \(game\) 的基础上保证不存在 \(x^{L}\geq x^{R}\)。

定义 \(x\geq y\) 如果满足不存在 \(x^{R}\leq y\) 和 \(x\leq y^{L}\)。

game 相关证明中用到的递归法

让我们暂且不那么严谨的认为：在 \(game\) 中不存在无穷递降链，或者一开始就不把这种 \(game\) 定义进来。

那么 \(game\) 就是由空集的若干堆砌形成的，那么就可以导出层数的概念，即左右集合中层数的最大值+1，令 \(x\) 的层数为 \(f(x)\)。

当我们要归纳 \((x,y,z....)\) 时，可以利用所有层数和严格小于 \(f(x)+f(y)+f(z)\) 的元组 \((x',y',z'....)\)。比如 \((x^{L},y,z...)\)，甚至 \((y,x^{R},z...)\)，即调换顺序也可以，只要满足总层数的关系即可。

相同和相等

两个 \(game\) 相同：\(L\) 和 \(R\) 集合分别相同。

两个 \(game\) 相等：同时有 \(x \geq y\)，\(y\geq x\)。

序关系和相等关系的正确性

四条引理(\(game\))：

• \(x\ngeq x^{R}\)
• \(x^{L}\ngeq x\)
• \(x \geq x\)
• \(x = x\)

\(proof\)：对四条引理同时在 \(x\) 上归纳。

• 令 \(y=x^{R}\)，在 \(\geq\) 定义中导出矛盾。
• 与第一条同理。
• 令 \(y=x\)，\(\geq\) 定义成立。
• \(x \leq x\) 和 \(x \geq x\) 同时满足。

据此可以导出关键的传递性：

• (\(game\)) \(\geq\) 具有传递性
• (\(number\)) \(\forall x，x^{L}<x<x^{R}\)。
• (\(number\)) \(\forall x\forall y，x\geq y 或者 y\geq x\)。（完全性）

所有的这一切说明了 \(number\) 的 \(\geq\) 构成了全序集。

加法的正确性

定义：

\[0=\{|\}\\ x+y=\{x^{L}+y,x+y^{L}|x^{R}+y,x+y^{R}\} \]

• \(x+0 \equiv x\)
• \(x+y\equiv y+x\)
• \((x+y)+z\equiv x+(y+z)\)

这说明 \((number,+)\) 是一个交换半群。

加法逆元的正确性

定义加法逆元 \(-x=\{-x^{R}|-x^{L}\}\)

主要是要证 \(x+(-x)=(-x)+x=0\)。

\[x+(-x)=\{ x^{L}+(-x),x+(-x)^{L}|x^{R}+(-y),x+(-y)^{R}\}\\ =\{ x^{L}+(-x),x+(-x^{R})|x^{R}+(-y),x+(-y^{L})\} \]

那么只要证明 \(x+(-x)\leq 0\) 和 \(x+(-x)\geq 0\) 即可。

只证前者，原命题等价于：

\[\not\exist x^{L}+(-x)/x+(-x^{R})\geq 0\\ 令 \alpha =x^{L}。\\ x^{L}+(-x)=\{\alpha^{L}+(-x),\alpha+(-x^{R})|\alpha^{R}+(-x),\alpha +(-x^{L})\}\\ 反证法，假设存在，那么:\\ \not\exist \alpha^{R}+(-x)/\alpha +(-x^{L})\leq 0\\ 但是又有 \alpha = x^{L}，即\alpha +(-x^{L})\leq 0是存在的\\ 故导出矛盾。 \]

这样就证明了一种情况，另外三种同理。