ONAG读书笔记

一 $\mathrm{No}$构成了一个域

game 和 number 的定义

$game$：$\{ L|R\}$，其中 $L$ 和 $R$ 都是 $game$ 构成的集合。

$number$：在 $game$ 的基础上保证不存在 $x^{L}\geq x^{R}$。

定义 $x\geq y$ 如果满足不存在 $x^{R}\leq y$ 和 $x\leq y^{L}$。

game 相关证明中用到的递归法

让我们暂且不那么严谨的认为：在 $game$ 中不存在无穷递降链，或者一开始就不把这种 $game$ 定义进来。

那么 $game$ 就是由空集的若干堆砌形成的，那么就可以导出层数的概念，即左右集合中层数的最大值+1，令 $x$ 的层数为 $f(x)$。

当我们要归纳 $(x,y,z....)$ 时，可以利用所有层数和严格小于 $f(x)+f(y)+f(z)$ 的元组 $(x',y',z'....)$。比如 $(x^{L},y,z...)$，甚至 $(y,x^{R},z...)$，即调换顺序也可以，只要满足总层数的关系即可。

相同和相等

两个 $game$ 相同：$L$ 和 $R$ 集合分别相同。

两个 $game$ 相等：同时有 $x \geq y$，$y\geq x$。

序关系和相等关系的正确性

四条引理($game$)：

• $x\ngeq x^{R}$
• $x^{L}\ngeq x$
• $x \geq x$
• $x = x$

$proof$：对四条引理同时在 $x$ 上归纳。

• 令 $y=x^{R}$，在 $\geq$ 定义中导出矛盾。
• 与第一条同理。
• 令 $y=x$，$\geq$ 定义成立。
• $x \leq x$ 和 $x \geq x$ 同时满足。

据此可以导出关键的传递性：

• ($game$) $\geq$ 具有传递性
• ($number$) $\forall x，x^{L}<x<x^{R}$。
• ($number$) $\forall x\forall y，x\geq y 或者 y\geq x$。（完全性）

所有的这一切说明了 $number$ 的 $\geq$ 构成了全序集。

加法的正确性

定义：

$$0=\{|\}\\ x+y=\{x^{L}+y,x+y^{L}|x^{R}+y,x+y^{R}\}$$

• $x+0 \equiv x$
• $x+y\equiv y+x$
• $(x+y)+z\equiv x+(y+z)$

这说明 $(number,+)$ 是一个交换半群。

加法逆元的正确性

定义加法逆元 $-x=\{-x^{R}|-x^{L}\}$

主要是要证 $x+(-x)=(-x)+x=0$。

$$x+(-x)=\{ x^{L}+(-x),x+(-x)^{L}|x^{R}+(-y),x+(-y)^{R}\}\\ =\{ x^{L}+(-x),x+(-x^{R})|x^{R}+(-y),x+(-y^{L})\}$$

那么只要证明 $x+(-x)\leq 0$ 和 $x+(-x)\geq 0$ 即可。

只证前者，原命题等价于：

$$\not\exist x^{L}+(-x)/x+(-x^{R})\geq 0\\ 令 \alpha =x^{L}。\\ x^{L}+(-x)=\{\alpha^{L}+(-x),\alpha+(-x^{R})|\alpha^{R}+(-x),\alpha +(-x^{L})\}\\ 反证法，假设存在，那么:\\ \not\exist \alpha^{R}+(-x)/\alpha +(-x^{L})\leq 0\\ 但是又有 \alpha = x^{L}，即\alpha +(-x^{L})\leq 0是存在的\\ 故导出矛盾。$$

这样就证明了一种情况，另外三种同理。