集合论：对无穷概念的探索读书笔记

第一章 集合与公理

罗素悖论

令 \(\varphi\) 为性质”不属于自己的集合“。

\[R=\{ x|\varphi(x) \} \]

可以导出 \(R\in R\Leftrightarrow R \notin R\)。

\(\bold Z\bold F\bold C\)公理系统

• 存在公理
  \[\exist x(x=x) \]

直观上理解就是言之有物。

• 外延公理

\[\forall X\forall Y \forall u(u\in X\leftrightarrow u\in Y)\rightarrow X=Y \]

两个有相同元素的集合相等。
当然因为反向的箭头是平凡的，那么有：

\[\forall X\forall Y \forall u(u\in X\leftrightarrow u\in Y)\leftrightarrow X=Y \]

• 分离公理模式

令 \(\varphi(u)\) 为公式。那么对于任意集合 \(X\)，存在一个集合 \(Y=\{ u\in X|\varphi(u)\}\)。

\[\forall X\exist Y \forall u(u\in Y\leftrightarrow u\in X\wedge \varphi(u) ) \]

感性理解，这个公理是在一个已有的集合的基础上通过一个限制剥离出一个子集。

如果对于性质 \(\varphi\)，存在 \(X\) 满足 \(\varphi (u)\rightarrow u\in X\)，则 \(\{u|\varphi (u)\}\)根据分离公里存在且不依赖 \(X\)。否则 \(\{u|\varphi (u)\}\) 是类，不是集合的类称为真类。

那么令 \(\varphi\) 是一个永假式，就能导出万物之源：空集。

由分离公理，集合的交，差，非空集合的任意交也是集合。

• 对集公理

对任意 \(a\)，\(b\)：

\[\forall a\forall b \exist c\forall x(x\in c\leftrightarrow x=a\vee x=b) \]

• 并集公理

\[\forall X\exist Y \forall u(u\in Y\leftrightarrow \exist z(z\in X\wedge u\in z)) \]

这样生成的 \(Y\) 称为 \(X\) 的并，记为 \(\bigcup X\)。

• 幂集公理

\[\forall X\exist Y \forall u(u\in Y\leftrightarrow u \subseteq X) \]

• 无穷公理

令 \(S(x)=x\cup\{x\}\)。

\[\exist X[\empty\in X\wedge \forall x(x\in X\rightarrow S(x)\in X)] \]

• 基础公理

\[\forall x(x\neq \empty\rightarrow \exist y(y\in x \wedge x\cap y=\empty)) \]

对任意非空集合 \(x\)，存在 \(x\) 中元素 \(y\) 是关系 \(\in\) 限制在 \(x\) 上的“最小元”。也就是说，\(x\) 中再没有元素直接属于 \(y\) 了。
这可以导出不存在集合意义上的无穷递降链。

• 替换公理模式

给定公式 \(\varphi(x,y)\)，保证对于任意 \(x\)，均有唯一 \(y\) 使得 \(\varphi(x,y)\) 为真。则对任意集合 \(A\)，存在集合 \(B\)：

\[B=\{ y|\exist x(x\in A\wedge \varphi (x,y))\} \]

直观的解释是一个集合对一个函数的像也是一个集合。

• 选择公理

对于任意的非空集合 \(x\)，如果满足：

\[ \forall a\forall b\in x，a\cap b=\empty \]

则存在集合 \(S\)，满足对于任意 \(a\in x\)，\(S\cap x\) 为单点集。
\(S\) 称为 \(x\) 的选择集。

第二章 关系与函数