对dijkstra算法的再思考

这篇文章的起因是这道题。本题的题解中提到了广义dij这个东西。我个人的理解是dij只是一个模板，只要能完成其中的关键性质，那么跑的东西可以不是最短路。

考虑最短路dij的正确性到底是基于什么的：在每次把dis最小的点加入当前集合时，我们可以断言这个点不会再被其他点松弛。在最短路中这一点很好证明：其他点的dis不小于dis最小的点(设dis最小的点的dis为x)，即使经过若干轮扩展，其他点的dis也一定是当前某点的dis+1个非负值。这个值显然不小于x。

换而言之，只要能证明“在每次把某个点加入当前集合时，我们可以断言这个点不会再被其他点松弛”，那么这个算法就是正确的。这道题中，把时间标在边上，维护到每个点的最早时间 \(d_{i}\)。转移可以看题解，这里不赘述。可以发现用最短路类似的证明证得这样dij就是对的。