excrt

EXCRT

为了契合整个系统，定义 $\gcd(x,0)=x$。

欧几里得算法

证明 $gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod \ b)$：

• $gcd(a,b)|gcd(b,a\ mod \ b):$

$$a\ mod \ b=a-kb\\ gcd(a,b)|a\\ gcd(a,b)|b\\ \Rightarrow gcd(a,b)|gcd(b,a\ mod \ b)$$

• $gcd(b,a\ mod \ b)|gcd(a,b):$

$$a\ mod \ b+kb=a\\ gcd(b,a\ mod \ b)|gcd(b,a\ mod \ b)\\ gcd(b,a\ mod \ b)|b\\ \Rightarrow gcd(b,a\ mod \ b)|gcd(a,b)$$

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法解决的是这样的二元一次不定方程：$ax+by=\gcd(a,b)$。

设

$$ax_{1}+by_{1}=\gcd(a,b)\\ bx_{2}+(a \ mod \ b)y_{2}=gcd(b,a\ mod \ b)$$

由辗转相除法：

$$ax_{1}+by_{1}=bx_{2}+(a \ mod \ b)y_{2}\\ ax_{1}+by_{1}=bx_{2}+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y_{2}\\ ax_{1}+by_{1}=ay_{2}+b(x_{2}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_{2})\\ $$

递归求解 $bx_{2}+(a \ mod \ b)y_{2}=gcd(b,a\ mod \ b)$。这个递归显然是有边界的，即 $b=0$，此时 $x=1,y=0$ 即是合法解。递归问题解决之后，当前问题的解就是 $x_{1}=y_{2}$，$y_{1}=x_{2}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_{2}$。

exgcd

exgcd解决的是这样的二元一次不定方程：$ax+by=c$。

首先由裴蜀定理：$\gcd (a,b)|c$，否则无解。

根据上文，我们已经能解出$ax_{0}+by_{0}=\gcd(a,b)$。

那么有：$a\frac{x_{0}c}{\gcd(a,b)}+b\frac{y_{0}c}{\gcd(a,b)}=c$。这样我们就找到了一组特解。

接下来考虑通解：

$$a(x_{1}+db)+b(y_{1}-da)=c$$

因为 $da,db$ 是整数，所以 $d$ 一定是 $\frac{1}{\gcd(a,b)}$ 的倍数。那么通解就是：

$$x=x_{1}+\frac{b}{\gcd(a,b)}k\\ y=y_{1}-\frac{a}{\gcd(a,b)}k\\ $$

这也可以求指定范围解的个数。

CRT/EXCRT

算法流程：每次取出方程组中的两个方程，合并成一个。
如何合并：

$$\left\{ \begin{array}{} x\equiv r_{1} \pmod{m_{1}} \\ x\equiv r_{2} \pmod{m_{2}} \end{array} \right. \\ \Rightarrow a=k_{1}m_{1}+r_{1}=k_{2}m_{2}+r_{2}\\ k_{1}m_{1}-k_{2}m_{2}=r_{2}-r_{1}\\ $$

用exgcd解这个即可，合并后就是 $x\equiv 解 \pmod{lcm (m_{1},m_{2})}$。