数模习题4(matlab)

实验 3 数学规划建模实验

一、实验目的

1. 学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类；
2. 掌握线性规划的建模技巧和求解方法；
3. 熟悉 MATLAB 软件求解线性规划模型的基本命令；
4. 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。

通过该实验的学习，掌握最优化技术，认识面对现实生活中的最优化问题，怎样提出假设和建立优化模型，并且学会使用 MATLAB 软件进行线性规划模型求解的基本命令。

二、实验内容

1. 最优化问题的提出，提出不同的假设可以建立不同的最优化模型；
2. 建立线性规划模型的基本要素和步骤；
3. 使用 MATLAB 命令对线性规划模型进行计算。

三、实验任务

1.

应用 matlab 求解以下线性规划模型

\[\min z = 6x_1 + 3x_2 + 4x_3 \]

\[s.t. \quad x_1 + x_2 + x_3 = 120 \]

\[x_1 \geq 30 , 0 \le x_2 \le 50 , x_3 \ge 20 \]

f=[6,3,4];
A=[];
b=[];
Aeq=[1,1,1];
beq=[120];
lb=[30,0,20];
ub=[inf,50,inf];
[x,y] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
x,y

x =

    30
    50
    40


y =

   490

即最小值为 \(490\) ，此时 \(x_1=30\) , \(x_2=50\) , \(x_3=40\) 。

2.

某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 \(10,15,25,20\) 台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用 \(0.15\) 万元，试建立一个数学模型，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。

季度	生产能力（台）	成本（万元/台）
一	25	10.8
二	35	11.1
三	30	11.0
四	10	11.3

c = [11.25,11.4,11.15,11.3];
Aeq = [1,1,1,1];
beq = [70];
lb = [10,0,0,0];
ub = [25,35,30,10];
A = [-1,-1,0,0;-1,-1,-1,0];
b = [-25;-50];
[x,y] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
x,y+12.75

x =

    25
     5
    30
    10


ans =

  798.5000

3. 投资策略

某部门现有资金 \(10\) 万元，五年内有以下投资项目可供选择：
项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15% ；
项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25% ，最大投资额为 \(4\) 万元；
项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40% ，最大投资额为 \(3\) 万元；
项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6% ；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？

记 \(x_{ij}\) 表示第 \(i\) 年对项目 \(j\) 投资的金额(项目 \(1,2,3,4\)对应 \(A,B,C,D\) );
则第一年 \(x_{11} + x_{14} = 10\)
第二年 \(x_{21} + x_{23} + x_{24} = 106 \% x_{14}\)
第三年 \(x_{31} + x_{33} + x_{34} = 106 \% x_{24} + 115 \% x_{11}\)
第四年 \(x_{41} + x_{44} = 106 \% x_{34} + 115 \% x_{21}\)
第五年 \(x_{54} = 106 \% x_{44} + 115 \% x_{31}\)
其中 \(x_{32} \le 4,x_{23} \le 3\)
求 \(ans = 115\% x_{41} + 125\% x_{32} + 140\% x_{23} + 106\% x_{54}\) 的最大值

c = [0,0,0,0,0,0,1.4,0,0,1.25,0,0,1.15,0,0,0,0,0,0,1.06];
A = [];
b = [];
Aeq = [1    ,0,0,1    ,0    ,0,0,0    ,0    ,0,0,0    ,0,0,0,0    ,0,0,0,0;
       0    ,0,0,-1.06,1    ,0,1,1    ,0    ,0,0,0    ,0,0,0,0    ,0,0,0,0;
       -1.15,0,0,0    ,0    ,0,0,-1.06,1    ,1,0,1    ,0,0,0,0    ,0,0,0,0;
       0    ,0,0,0    ,-1.15,0,0,0    ,0    ,0,0,-1.06,1,0,0,1    ,0,0,0,0;
       0    ,0,0,0    ,0    ,0,0,0    ,-1.15,0,0,0    ,0,0,0,-1.06,0,0,0,1];
beq = [10,0,0,0,0];
lb = zeros(1,20);
ub = [inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,inf,inf,4,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf];
[x,y] = linprog(-c,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
x,-y

x =

    3.4783
         0
         0
    6.5217
    3.9130
         0
    3.0000
         0
         0
    4.0000
         0
         0
    4.5000
         0
         0
         0
         0
         0
         0
         0


ans =

   14.3750

因此，可得出如下结果，第一年在项目A投入 \(3.4783\) 万元，在项目D投入 \(6.5217\) 万元；第二年在项目A投入 \(3.9130\) 万元，在项目C投入 \(3\) 万元；第三年在项目B投入 \(4\) 万元；第四年在项目A中投入 \(4.5\) 万元。
在第五年末，本金加利息共 \(14.3750\) 万元。